Thálesz-tétel | Thálesz-tétel bizonyítása | További bizonyítások
A Thalész-tétel a geometria egyik legkorábbi tétele. Nevét az ókori görög területeken élő milétoszi Tháleszről (Kr. e. 624 – Kr. e. 546 ) kapta. Lejjebb találod a tételt, és annak bizonyítását. Ha inkább meghallgatnád a magyarázatokat, akkor ebben a Matek Oázis tananyagban megnézheted a Thálesz-tétel bizonyítását.
Ha egy kör átmérőjének a két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.
A kör egyik átmérőjének a két végpontja az A és B. Ezekhez, ha kiválasztjuk a körvonal még egy tetszőleges pontját (esetünkben C, D, E pontok), akkor derékszögű háromszöget kapunk.
A derékszögű háromszögben az AB oldal az átfogó, és
1. lépés: Rajzoljunk egy O középpontú kört, húzzuk be egy átmérőjét, aminek a végpontjait jelöljük A-val, illetve B-vel. Kiválasztjuk a körvonal tetszőleges pontját és ezt jelöljük C-vel. Az A és a B csúcsot is összekötjük C-vel.
Ezenkívül jelöljük az A csúcsnál az 𝛼 szöget, B csúcsnál pedig a 𝛽 szöget.
2. lépés: Azt kell bebizonyítani, hogy az ABC háromszögben a C csúcsnál derékszög van, azaz 90°-os a szög. Az O középpontot összekötjük a C csúccsal. Mivel O a kör középpontja, a C pedig a körvonal egy pontja ezért a most behúzott OC szakasz a körnek egy sugara, amit r-el jelölünk. Ezenkívül tudjuk, hogy a körnek sugara még az AO és a BO szakaszok.
3. lépés: Észrevesszük, hogy AOC háromszög egyenlő szárú, hiszen van két egyenlő hosszúságú (AO és CO) oldala, hiszen mind a kettő sugárhosszúságú. Az egyenlő szárú háromszögről tudjuk, hogy az alapon fekvő szögei ugyanakkorák, tehát az ACO∡ is éppen 𝛼 nagyságú.
4. lépés: Észrevesszük, hogy a BCO háromszög is egyenlő szárú, hiszen van két sugárhosszúságú oldala (CO és BO). Tehát a BCO∡ is 𝛽 nagyságú
5. lépés: Ekkor a C csúcsnál van egy 𝛼 + 𝛽 nagyságú szögünk. Tudjuk, hogy minden háromszögben a belső szögek összege 180°. Ez a mi háromszögünkben úgy alakul, hogy:
𝛼 + 𝛽 + (𝛼 + 𝛽) = 180°
Ezt az összefüggést felírhatjuk zárójelek nélkül is igazából. Sőt, össze is tudunk vonni:
𝛼 + 𝛽 + 𝛼 + 𝛽 = 180°
2𝛼 + 2𝛽 = 180°
Ezután mindkét oldalt osztjuk 2-vel:
𝛼 + 𝛽 = 90°
Látjuk, hogy a C csúcsnál éppen 𝛼 + 𝛽 = 90° a szög nagysága, tehát az ABC háromszög valóban derékszögű háromszög, ezzel kész is a bizonyítás.
Pitagorasz-tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
Pitagorasz-tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk
Szinusztétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
Szinusztétel bizonyítása: Matek Oázis cikk
Oldalfelezők merőlegesek metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
Oldalfelezők merőlegesek metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk
Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk
Mi az egészrész fogalma? Mi a törtrész fogalma? Mit kell tudni az egészrész függvényről? Mit kell tudni a törtrész függvényről?Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok
2024. május 27.