Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok

Egészrész fogalma | Egészrész függvény | Törtrész fogalma | Törtrész függvény | Egészrész és törtrész függvény feladatok

Emelt szinten találkozhatunk egészrész és törtrész függvénnyel. Nézzük meg részletesen mit kell tudni a témáról.

Mi az egészrész fogalma és jelölése?

Egy szám egészrésze az a legnagyobb egész szám, ami nem nagyobb a számnál. 

Például: 3,4-nek az egészrésze 3. 5 egészrésze 5. -7,9 egészrésze -8.

Egy x szám egész részét így jelöljük [x] és úgy mondjuk, hogy egészrész x. 

Az egészrészről és a törtrészről mindent megtudhatsz a Tizedes tört értelmezése című interaktív Matek Oázis tananyagban.

Mi az egészrész függvény?

Az egészrész függvény minden x valós számhoz hozzárendeli az egészrészét. Az egész rész függvény grafikonja így néz ki:

A függvény szakaszonként konstans: ha n egész szám, akkor az x (n ≤ x ≤ n + 1) az n értéket veszi fel. 

Mi a törtrész fogalma és jelölése?

Ha egy számból elvesszük az egészrészét, akkor a törtrésze marad. 

Egy x szám törtrészét így jelöljük: {x}. A definíció szerint: {x} = x - [x]

Mi a törtrész függvény?

A törtrész függvény minden x valós számhoz hozzárendeli a törtrészét.

A függvény periodikus, bármely x valós számra: f (x+p) = f (x), ahol p egy egész szám.

Az egészrész és törtrész függvényekről bővebben a Függvénytípusok II. című interaktív Matek Oázis tananyagban tanulhatsz.

Egészrész és törtrész függvény feladatok

1. feladat: Ábrázoljuk az  függvényt!

Megoldás: Mivel {x} = x - [x], ezért x = {x} + [x], így rögtön egyszerűsödik a hozzárendelési szabály: 

Első lépésben ábrázoljuk halványan ceruzával a |2x| függvényt, majd ezt az y tengely mentén eltoljuk lefelé két egységgel. 

Ezután ennek az x tengely alatti részét "felhajtjuk az x tengely fölé, vagyis tükrözzük az x tengelyre.

Egészrésszel kapcsolatos versenyfeladatokat itt találsz.

2. feladat: Ábrázoljuk és jellemezzük az [2x] függvényt!

Készítünk egy táblázatot, hogy könnyen tudjuk ábrázolni a függvényt.

Az adatok alapján szépen látszódik, hogy az egészrész függvény pici szakaszai fele hosszúságúra csökkentek. Most ábrázoljuk a függvény.

A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, bármilyen x-hez hozzá tudjuk rendelni a [2x] - et.
A függvény értékkészlete az egész számok halmaza, a [2x] függvény csak egész értékeket vesz fel (ezért is hívják egészrész függvénynek).
A függvény monoton nő. Zérushelyei: x ∈ (0 ; 0,5 (.
Nem páros, nem páratlan, nem periodikus.
 

Tudj meg még többet a Függvénytranszformációk I., Függvénytranszformációk II. és Függvénytranszformációk III. interaktív Matek Oázis tananyagokból.

Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár