Halmazok különbsége: minden, amit tudnod kell róla!

Definíció | A különbséghalmaz elemei | Feladatok megoldással

A halmazműveletekkel középiskola elején találkozunk, ekkor tanuljuk meg, mit jelent a halmazok különbsége. Még az érettségi feladatsorokban is gyakran előkerül. Nézzük meg részletesebben, mit kell tudni halmazok különbségéről.

Mit jelent az, hogy halmazok különbsége?

Definíció: Az A és B halmaz különbsége ("A-ból B") az a halmaz, mely az A halmaz összes olyan elemét tartalmazza, amelyek B halmaznak nem elemei. 

Két halmaz különbségét így jelöljük: .

A és B halmaz különbsége a halmazábrán a zölddel jelölt rész (A \ B). A kék rész pedig B és A halmaz különbsége (B \ A). A narancssárga rész a két halmaz metszete (A ⋂ B).

Tudj meg mindent a témáról a Halmazok: fogalmak és műveletek című Matek Oázis tananyagból.

Hogyan adható meg két halmaz különbsége?

Véges halmazoknál: ha ismerjük mindkét halmaz összes elemét, akkor könnyen meg tudjuk adni. Érdemes felírni a két halmaz elemeit egymás alá. Például:

A definíció szerint felírjuk a különbséget. Ebbe a különbséghalmazba azok az elemek kerülnek, amik csak A-ban vannak. Semelyik B-ben megtalálható elem nem szerepel a két halmaz különbségében: 

Kevés elem esetén halmazábrába is beírhatjuk az elemeket. Az előző ábrán láthattuk, hogy melyik rész az A \ B. Az idekerülő elemek a feladat megoldásai.

Végtelen halmazokhoz kapcsolódó példát a feladatok között találsz.

Halmazműveletekről és jelölésekről itt olvashatsz bővebben.

Halmazok különbsége: feladatok megoldásokkal

1. feladat: Az A és a B halmazokról a következőket tudjuk: A ∩ B = {1; 2}, A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, A \ B = {5; 7}. Adjuk meg az A és a B halmaz elemeit!

Megoldás: A \ B = {5; 7}. Ez azt jelenti, hogy az 5 és 7 csak az A-nak eleme, B-nek nem. Ezért nem lehet benn ez a két elem a B-ben, így:

A ={1;2;5;7} és B ={1;2;3;4;6;}.

2. feladat (2022. októberi érettségi feladatsor 1. feladat): Adott a pozitív egész számok halmazának két részhalmaza:

A = {12-nél kisebb prímszámok}

B = {3-mal nem osztható egyjegyű számok}.

Elemei felsorolásával adja meg az A, a B, az A ∩ B és a B \ A halmazokat!

Megoldás: Felírjuk először A és B elemeit: 

A = {2; 3; 5; 7; 11}
B = {1; 2; 4; 5; 7; 8}

A metszetbe azok a számok kerülnek, amik mindkét sorban szerepelnek, ezek: A ∩ B = {2; 5; 7}.

A két halmaz különbségének felírásakor felírjuk az B halmaz elemeit, kivéve azokat, amik a metszetbe kerültek, így: B \ A = {1; 4; 8}.

Ha halmazábrával könnyebben boldogulsz, akkor így is meg lehet oldani. Először kitöltjük a metszetet (mindig ez az első lépés), majd a fennmaradó számokat is beírjuk:

3. feladat: Mi lesz a következő intervallumok különbsége?
a) A = [-1 ; 4] B = [1 ; 5]
b) C = ]- ; 3] D =[5 ; -[

Megoldás:

Az A halmaz eleme minden valós szám -1 és 4 között. Ezekből vettünk el a B halmaz elemeit. Mivel a B-ben szerepel az összes valós szám 1-től ötig, ezért a megoldások azok a számok, amik a [-1 ; 1[ balról zárt. jobbról nyílt intervallumban vannak. 
Mivel az 1-et elvettük, ezért az már nem része a különbséghalmaznak.

Hasonlóan végig gondolva: 

A b) részben láthatóan diszjunkt halmazaink vannak, azaz nincs közös elem. Ilyenkor a különbségek:

4. feladat: Határozzuk meg a következő halmazok különbségét!

Megoldás: Az első példában a valós számokból elvesszük a racionális számukat. Mivel a valós számok halmazát a racionális számok és az irracionális számok alkotják, ezért az eredmény az irracionális számok halmaza.

A második példában az egész számokból elvesszük a természetes számokat (0 ; 1 ; 2; ...), így a megoldás a negatív egész számok halmaza, amit így is jelölhetünk: 

A Halmazok: gyakorló feladatok című Matek Oázis tananyagban interaktívan gyakorolhatod a halmazokról tanultakat.

Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár