Oldalfelező merőlegesek metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása

Mi az oldalfelező merőleges? | Oldalfelezőkre vonatkozó tétel | A tétel bizonyítása | Oldalfelező merőleges és a háromszög köré írt köre | Középszintű bizonyítások

2024-től a középszintű érettségi követelményekben szerepel néhány egyszerű bizonyítás. Ezek közül nézzük meg most azt a bizonyítást, amiben az oldalfelező merőlegesek szerepelnek.

A bizonyítást lejjebb olvashatod. Ha kicsit bővebb magyarázattal meghallgatnád a tételt és a bizonyítást, akkor ezt a Matek Oázis tananyagot javasoljuk neked:

Kattints a lejátszáshoz!

Próbáld ki elfektetve a telefont.

0

0:00

Feliratkozom

Az oldalfelező merőleges definíciója

Mielőtt a tételt megvizsgálnánk, tegyük tisztába az ehhez szükséges fogalmat.

A tétel a háromszög oldalfelező merőlegeseiről szól. Ezek az oldalak tekinthetők szakasznak, hiszen van kezdő és végpontjuk. 
Tehát a bizonyításban az oldalfelező merőlegesek szakasz felezőmerőlegesek is egyben.

Definíció: Egy sík A és B pontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon az AB szakasz felezőmerőlegese.

Tehát kijelenthetjük, hogy:

Az oldalfelező merőleges minden pontja egyenlő távoságra van a felezett oldal két végpontjától.

A bizonyításban ezt a fogalmat fogjuk használni.

A háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontjára vonatkozó tétel

A bizonyítandó tétel így hangzik:

A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást.

A tétel bizonyítása

1. lépés: Rajzolunk egy teljesen általános ABC háromszöget. Behúzzuk két oldalának az oldalfelező merőlegeseit (e -t és f-et). Világos, hogy ezeknek az oldalfelező merőlegeseknek van metszéspontjuk, hiszen nem párhuzamos egyenesekről van szó. A metszéspontot jelöljük M-mel.

2. lépés: Mivel az e egyenes egy oldalfelező merőleges, ezért minden pontja, így az M pontja is egyenlő távolságra van a háromszög A és B pontjától. Tehát felírhatjuk, hogy MA = MB. Hasonlóan megvizsgáljuk az f oldalfelező merőlegest. Ezen az oldalfelező merőlegesen is rajta van az M pont, tehát kijelenthető, hogy MC = MB.

3. lépés: Megnézzük azt a két egyenlőséget, amit kaptunk:

MA = MB

MC = MB

Itt azt látjuk, hogy MA és MC is egyenlő MB-vel. Ebből az következik, hogy egymással is egyenlők, tehát MA = MC.

Ez az összefüggés viszont azt jelenti, hogy az M pont egyenlő távolságra van a háromszög A és C csúcsától. Ebből pedig az következik, hogy az M pont rajta van a háromszög AC oldalának felezőmerőlegesén (g) is.

Hiszen az oldalfelező merőleges azon pontok halmaza, amik a szakasz két végpontjától ugyanakkora távolságra vannak.  Ezzel kész a bizonyítás.

Beláttuk, hogy a háromszög három oldalfelező merőlegese valóban egy pontban metszi egymást. Ez a metszéspont, amit M​​​​​​​-el jelöltünk. 

A háromszög köréírt köre

Korábban írtuk, hogy a háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, ez az M pont. Azt is láttuk, hogy AM = BM = CM. Tehát az oldalfelező merőlegesek M metszéspontja ugyanolyan távolságra van a háromszög mindegyik csúcsától.

Tehát egy olyan körnek a középpontja, ami átmegy a háromszög mindhárom csúcsán.

Ezt a kört hívjuk a háromszög köré írható körének.

​​​​​​​

A háromszög köréírt körének a középpontja elhelyezkedhet:

• A háromszög belsejében, ha a háromszög hegyesszögű (azaz minden szöge hegyesszög)
• A derékszögű háromszög átfogójának felezőpontján (Ez a Thálesz-tétel alapján végig gondolható) 
• A háromszögön kívül, ha a háromszög tompaszögű

Középszintű bizonyítások

Pitagorasz-tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
Pitagorasz-tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk

Szinusztétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
​​​​​​​Szinusztétel bizonyítása: Matek Oázis cikk
​​
Thálesz-tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag​​​​​​​
​​​​​​​Thálesz-tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk

Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis tananyag
Belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tétel bizonyítása: Matek Oázis cikk

Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár