Négyzet tulajdonságai, területe, kerülete

Definíció | Tulajdonságok | Négyzet területe | Négyzet kerülete

A négyzet az egyik legegyszerűbb alakzat, ám sok érdekes tulajdonsága van. Ebben a cikkben összegyűjtöttünk mindent, amit tudnod kell a négyzetekről első osztálytól az érettségiig. Ebben a mini tananyagban tesztelheted a tudásod: ismered a négyzet és téglalap összes tulajdonságát?

Kattints a lejátszáshoz!

Próbáld ki elfektetve a telefont.

0:00

Feliratkozom

Heti TOP videók INGYENES tananyagok KÓDOLATLAN hétvégék Tanulási TIPPEK KÜLÖNLEGES ajánlatok

380 ingyenes tananyag!

Kérem az ingyenes tananyagokat

Mi a négyzet?

Definíció: A négyzet olyan négyszög, amelynek oldalai egyenlőek és minden szöge derékszög.

A Négyszögek, sokszögek Matek Oázis tananyagban megtanulhatsz interaktívan mindent, amire szükséged van a témában.

Milyen tulajdonságai vannak a négyzetnek?

A négyzet szabályos négyszög (oldalai és szögei is egyenlők). További tulajdonságai:

Négyzet szemközti oldalai

Szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak.

Négyzet átlói...

egyenlő hosszúak ( Pitagorasz-tétellel kiszámolható, hogy az átló az oldal hosszának $square root of 2$ - szöröse: $e equals a times square root of 2$ )
felezik egymást
merőlegesek egymásra
felezik a szögeket
négy egybevágó háromszögre bontják a négyzetet

Négyzet szögei

Mindegyik szöge derékszög, azaz 90° -os.

Négyzet oldali, átló, szögei
A négyzetnek minden oldala ugyanolyan hosszú, minden szöge derékszög, átlói merőlegeses egymásra és felezik egymást

Szimmetria

A négyzetnek négy szimmetriatengelye van, azaz négy helyen is félbe tudjuk hajtani úgy, hogy a két rész fedje egymást. Ez a négy tengely a két átló és a két oldalfelező merőleges.

A négyzet középpontosan szimmetrikus négyszög, szimmetria középpontja az átlók metszéspontja.

Négyzet szimmetriatengelyei
Minden négyzetnek pontosan négy szimmetriatengelye van (szaggatott vonalak)

Kapcsolat más szokszögekkel

Mindegy négyzet egyben téglalap, rombusz, paralelogramma, trapéz, és deltoid is. Visszafelé ez az állítás nem igaz (például nem minden deltoid négyzet).

A Négyszögek tulajdonságai interaktív Matek Oázis tananyaggal mindent megtudhatsz a négyzetről és más négyszögekről.

Hogyan számítható ki a négyzet területe?

Egy négyzet területét nagyon kevés adatból meg tudjuk határozni. Megmutatjuk, hogy a négyzet melyik tulajdonságait hogyan használjuk fel a területszámításhoz.

Négyzet területe: képlet

Az a oldalú négyzet területe: $straight T subscript square equals straight a times straight a equals straight a squared$

Feladat: Mennyi annak a négyzetnek a területe, aminek élhosszúsága 7 cm?

Megoldás: Egy adatunk van: $a equals 7 space c m$ . Ez elég is, behelyettesítünk a területképletbe: $T equals a times a equals 7 times 7 equals 7 squared equals 49 space c m squared$ .

Négyzet területének kiszámítása, ha csak az átlót ismerjük

Fontos tudni, hogy az a oldalú négyzet átlójának hossza: $e equals a times square root of 2$ . Ezt az egyenlőséget átrendezzük: $a equals fraction numerator e over denominator square root of 2 end fraction$ és így a terület: $T subscript square equals a squared equals open parentheses fraction numerator e over denominator square root of 2 end fraction close parentheses squared equals e squared over 2$

Feladat: Egy négyzet átlója 20 cm. Adjuk meg a négyzet területét!

Megoldás: Felhasználjuk, hogy $a equals fraction numerator e over denominator square root of 2 end fraction$ , ezt behelyettesítjük: $T subscript square equals a squared equals open parentheses fraction numerator e over denominator square root of 2 end fraction close parentheses squared equals open parentheses fraction numerator 20 over denominator square root of 2 end fraction close parentheses squared equals 20 squared over 2 equals 200 space c m squared$

Négyzet területének kiszámítása, ha csak a kerületet ismerjük

A négyzet kerületképletét kell átalkítanunk. $K equals 4 times a$ . Ebből kifejezzük az a élhosszt: $a equals K over 4$ és így a terület: $T subscript square equals a squared equals open parentheses K over 4 close parentheses squared equals K squared over 16$

Feladat: Egy négyszög kerülete 32 cm. Számoljuk ki a területét!

Megoldás: A négyzet egy élének a hossza: $a equals K over 4 equals 32 over 4 equals 8 space c m$ . Tehát a négyzet területe: $T subscript square equals a squared equals 8 times 8 equals 64 space c m squared$ .

Ha egyből az új képletbe helyettesítünk, akkor is ugyanezt kapjuk: $T subscript square equals open parentheses K over 4 close parentheses squared equals 32 squared over 16 equals 1024 over 16 equals 64 space c m squared$ .

Tanulj játékosan itt.

Hogyan számítható ki a négyzet kerülete?

A kerületszámításhoz is ugyanazokat a tulajdonságokat használjuk fel, mint a területszámításhoz.

Négyzet kerülete: képlet

Az a oldalú négyzet kerülete: $K subscript square equals 4 times a$ . Ez a képlet azt jelenti, hogy a négyzet kerülete egy oldalhosszának a négyszeresével egyenlő.

Négyzet kerületének kiszámítása, ha csak az átlót ismerjük

A területnél láttuk, hogy ha ismerjük az e átlót, akkor az a oldal: $a equals fraction numerator e over denominator square root of 2 end fraction$ . Így a kerület: $K subscript square equals 4 times a equals 4 times fraction numerator e over denominator square root of 2 end fraction$

Feladat: Egy négyzet átlója 128 cm. Mennyi a kerülete?

Megoldás: Meghatározzuk a négyzet oldalhosszát: $a equals fraction numerator e over denominator square root of 2 end fraction equals fraction numerator 128 over denominator square root of 2 end fraction almost equal to 90 comma 5$ . Így a kerület: $K equals 4 times a equals 4 times 90 comma 5 equals 362 space c m squared$ .

Négyzet kerületének kiszámítása, ha csak a területet ismerjük

A területből gyökvonás segítségével meg tudjuk kapni a négyzet egy élének a hosszát: $T equals a squared rightwards arrow a equals square root of T$ . Ezt szorozzuk néggyel, és meg is kapjuk a kerületet: $K equals 4 times a equals 4 times square root of T$

Feladat: Egy négyzet területe 1156 cm², mennyi a kerülete?

Megoldás: Kiszámoljuk a négyzet egy oldalának a hosszát. $a equals square root of T equals square root of 1156 equals 34 space c m$ . Ekkor a kerület: $K equals 4 times a equals 4 times 34 equals 136 space c m$ .

Gyakorolj a Négyszögek, sokszögek Matek Oázis teszttel, és nézd meg, mindent tudsz-e.

Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár