Prímszámok: fogalma, számítások, feladatok
Dancsó Imre,
2022. június 01.
Prímszám definíciója | Prím vagy nem prím? | Prímszámok keresése számológép nélkül | Prímszám táblázat | Prímtényezős felbontás | Legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös | Melyik a legnagyobb prímszám | Prímszám rejtélyek
Tudtad, hogy a „prím” szó elsőrangút, elsőrendűt jelent? Miért „elsőrangúak” a prímszámok? Miért olyan fontosak az oszthatóság és a számelmélet szempontjából? És egyáltalán mik azok a prímszámok? Hány prímszám van, stb…? A cikkből minden kiderül!
Prímszámok: mi a definíciója a prímszámoknak?
A prímszámok azok az egynél nagyobb természetes számok, amiknek pontosan két osztójuk van: az 1 és önmaguk. Fontos, hogy az 1 nem prímszám, hiszen csak egy osztója van. A 0 sem prímszám, hiszen végtelen sok osztója van.
Keressük meg 20-ig a prímszámokat!
A legkisebb prím a 2, egyben ez az egyetlen páros prímszám. A következő prímszám mindjárt a 3, aztán a 4 következik, ami nem prím, mert osztható 2-vel (semelyik 2-nél nagyobb páros szám nem prím!); az 5 prímszám, a 7 is, viszont a 9 nem, hiszen 3-mal osztható. 11 és 13 is prím (a továbbiakban ikerprímeknek nevezzük azokat az egymást követő páratlan számokat, melyek mindketten prímszámok). 15 nem prím, mert 15 = 3x5, 17 és 19 viszont egy újabb ikerprím.
Hogyan dönthetjük el egy számról, hogy prímszám, vagy sem?
Jó esetben gyorsan megtalálhatjuk az osztóit egy számnak (ha páros, ha 3-mal osztható, 5-tel, stb…) Ha nem találunk ilyen „könnyű” osztót, el kell kezdeni - következetesen növelve a számokat - ellenőrizni, hogy vajon az adott számmal osztható-e a szám. Ha egy k számnak keressük a lehetséges osztóit, szerencsére nem kell egészen k-ig minden számot kipróbálni. Csak gyök k-ig kell elmenni, ha addig nem találunk osztót, akkor annál nagyobbat sem fogunk találni (az osztópárok miatt). Sőt, valójában elég a gyök k-nál kisebb (v. egyenlő) prímekkel való oszthatóságot ellenőrizni.
Pl. 1003 prímszám-e? Mivel ennek gyöke 31,6, elég az osztókat 31-ig keresni. 2,3,5, nem osztó ránézésre; 7, 11 nem osztó, 13 sem (számológéppel), viszont 17 már igen: 1003 = 17 • 59. Tehát 1003 nem prímszám.
Heti TOP videók INGYENES tananyagok KÓDOLATLAN hétvégék Tanulási TIPPEK KÜLÖNLEGES ajánlatok
380 ingyenes tananyag!
Prímszámok keresése - számológép nélkül!
Az eratoszteneszi szita egy olyan kizárásos módszer, amelynek segítségével számológép és számítógép nélkül tudjuk megkeresni a prímszámokat. Írjuk fel a természetes számokat 2-től N-ig (N az a szám, ameddig keressük a prímeket). Első lépésben bekarikázzuk a kettőt, a többszöröseit pedig áthúzzuk. Következő lépésben bekarikázzuk a legkisebb jelöletlen számot (ami nincs se bekarikázva, se áthúzva még), ez a 3 lesz. Ennek is kihúzzuk a többszöröseit. Ezt a lépést megismételjük mindig a legkisebb jelöletlen számmal, egészen addig, amíg a legkisebb jelöletlen szám nem nagyobb, mint √N. Ekkor kész vagyunk, a bekarikázott és jelöletlen számok lesznek a 2 és N közötti prímszámok.
Egy elég gyors módszer persze a prímszámok keresésére az is (ha kéznél van az internet), hogy megnézzük a következő táblázatban őket:
Prímszámok táblázata:
Az itt található prímek segítségével akár 10 millióig is el tudod dönteni egy számról, hogy prím-e, hisz 10.000.000 gyöke kb. 3162,2, és így, ha ezek közül a számok közül egyikkel sem osztható az adott szám, akkor biztosan prím. (azt persze nem mondanám, hogy ez egy gyors módszer)
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163
Ha még nagyobb prímeket keresünk, akkor itt találhatunk, összesen 150.000 db-ot :)
Mi a prímtényezős felbontás, és hogyan határozható meg?
A számelmélet alaptétele szerint minden szám egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára, és a felírás a sorrendtől eltekintve egyértelmű. A számoknak az így felírt alakját nevezzük prímtényezős felbontásnak. Például: 248 = 23 31; 360 = 23 32 5 stb.
Ebből máris láthatod, hogy a prímeknek kiemelkedő jelentőségük van a számok között (ezért „elsőrendű” számok).
Hogyan lehet meghatározni egy szám prímtényezős felbontását?
Pl. 1782-t akarjuk felbontani prímtényezők szorzatára. Mivel páros, a 2-t mindjárt leírjuk, és elosztunk vele. A hányados így 891. Keresünk egy olyan prímet, amivel osztható - (most pl. 3 ilyen, hisz a számjegyek összege osztható 3-mal.) Elosztjuk vele, aztán a hányadoshoz is keresünk olyan prímet, amivel az osztható (3 még mindig jó), stb…:
Prímek, prímtényezős felbontás (interaktív tananyag)
A legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös a prímtényezős felbontásból könnyen meghatározható
Ebben a cikkünkben részletezzük, hogy hogyan számolható ki a legkönyebben a legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös
Ebben az interaktív Matek Oázis tananyagban megmutatjuk, hogyan lehet a legnagyobb közös osztót és a legkisebb közös többszöröst kiszámolni a prímtényezős felbontás segítségével.
Melyik a legnagyobb prímszám?
Nincsen legnagyobb prímszám, hiszen végtelen sok prímszám van, ezt már az ókorban is tudták, a görög Euklidesz bizonyította be Elemek című művében.
A jelenleg ismert legnagyobb prímszám az 51. Mersenne-prím, mégpedig a 282 589 933 - 1.
24 862 048 számjegyből áll! 2019-ben találták meg számítógép segítségével.
Különleges prímszámok és megoldásra váró sejtések
A prímszámokra nincsen képlet, amely minden n-re előállítja az n. prímszámot. Ilyen képletre a matematikusok szerint nincs is remény.
Ikerprímeknek nevezzük azokat a szomszédos páratlan számokat, amelyek mindegyike prím. Például: {3;5}, {5;7}, {11;13}, stb. Megoldatlan matematikai probléma, hogy végtelen ikerprím létezik-e. Eddig több, mint 20000-et találtak. 2009-ben találták meg az eddigi legnagyobb ikerprímeket, ezek 100355 számjegyűek.
Szintén megoldatlan probléma a Goldbach-sejtés, eszerint minden négynél nagyobb páros szám felírható két prímszám összegeként. Például: 4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 5+3 stb.
Fermat-prímnek nevezzük a 2n+1 alakú prímeket. Ekkor n kettő hatványa.
Például 3 = 21 + 1; 5 = 22 +1; 17 = 24+1; stb. Megoldatlan probléma, hogy végtelen Fermat-prím létezik-e, eddig 5 db-ot ismerünk.
Mersenne-prímek a 2p - 1 alakú számok, ahol p egy prímszám.
Például: 3 = 22-1; 7 = 23-1 stb. Nem tudjuk, hogy végtelen sok Mersenne-prím létezik-e, eddig 51 db ismert.
A 4k+1 és 4k+3 alakú prímek száma végtelen.
Prímek, prímtényezős felbontás (interaktív tananyag)
Matek- és fizikatanár
Mi az egészrész fogalma? Mi a törtrész fogalma? Mit kell tudni az egészrész függvényről? Mit kell tudni a törtrész függvényről?
Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok
2024. május 27.