Paralelogramma: definíció, terület, kerület, tulajdonságok

Paralelogramma definíciója | Paralelogramma tulajdonságai  | Paralelogramma kerülete  |  Paralelogramma területe  |  Paralelogramma szerkesztése  |  Speciális paralelogrammák | Paralelogrammához kapcsolódó feladatok |  Paralelogrammához kapcsolódó feladatok szögfüggvényekkel

Ebben a cikkben röviden összefoglaltuk a paralelogrammáról a legfontosabb tudnivalókat. Ha csak most kezdesz ismerkedni a paralelogrammákkal, itt sok hasznos dolgot találsz róluk, ha pedig ismételni szeretnél, gyorsan át tudod látni a legfontosabb ismereteket.

A paralelogramma egy speciális négyszög-fajta. Olyan, mintha egy téglalap felső oldalát arrébb nyomtuk volna, és az oldalai kicsit kidőltek volna a merőlegesből. Ha ezt megjegyzed, nem lesz gondod vele, hogy felismerd.

Mi a paralelogramma fogalma, definíciója? 

A paralelogramma nevében is benne van a lényege: a „paralel” szó azt jelenti, hogy „párhuzamos”.

Definíció:
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak.

Úgy is mondhatjuk, hogy
a paralelogramma olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldalpárja.

Melyek a paralelogramma tulajdonságai? 

A legfontosabb: a paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek (a párhuzamos oldalak ugyanakkorák) + a szemközti szögei is egyenlőek (ezek a szögek egyébként váltószögek az oldalak párhuzamossága miatt).

Mivel minden négyszögre igaz, hogy a belső szögeinek összege 360°, így ezt most is felírhatjuk:

2∙(α+β) = 360°. Amiből az következik, hogy α + β = 180° , vagyis a paralelogramma szomszédos szögeinek összege 180°. 

Nézzünk egy feladatot, amiben ezt kell használni!

1. Feladat: Ha a paralelogramma egyik szöge 110°-os, mekkora a többi szöge?

Megoldás: Használjuk az előző összefüggést: α + β = 180°. Ebbe behelyettesítjük az adott szöget:

110°+ β = 180° , amiből már könnyen látod, hogy β = 70°.

Tehát a paralelogramma négy szöge 110°, 70°, 110°, 70°.

Paralelogramma a modern építészetben

A paralelogramma középpontosan szimmetrikus négyszög,- ebből következik, hogy átlói felezik egymást. Viszont ügyelj rá, hogy az általános paralelogramma NEM tengelyesen szimmetrikus (csak azok a paralelogrammák, amik egyben rombuszok vagy téglalapok is).

Hogyan számítható ki a paralelogramma kerülete?

Sokszögek kerületét mindig úgy számoljuk ki, hogy összeadjuk az oldalaik hosszúságát.

Paralelogramma esetén is össze kell csak adni a négy oldalának a hosszát. Mivel 2-2 szemközti oldala egyenlő hosszú, a kerületre a következőt kapjuk:

K= a + b + a + b = 2a + 2b = 2 ∙ ( a + b )

Hogyan számítható ki a paralelogramma területe?  

A paralelogramma területének kiszámolásához nem elég az oldalait ismernünk, szükség van a paralelogramma magasságára is. Adott oldalhoz tartozó magasság mindig merőleges az adott oldalra, nagysága pedig a két párhuzamos oldalegyenes távolsága. Ez látszik a következő ábrán:

Azt is mutatja az ábra, hogy kétféle magassága van a paralelogrammának: az a oldalhoz tartozó magasságot m_a-val, a b oldalhoz tartozó magasságot m_b-vel szokás jelölni. A paralelogramma területét a következőképpen számíthatjuk ki:

T= a ∙ m_a = b ∙ m_b

Ebből az is látszik, hogy elég az egyik oldalt és a hozzá tartozó magasságot ismerni ahhoz, hogy kiszámítsuk a paralelogramma területét.

Hogyan szerkesszük meg a paralelogrammát?  

A paralelogrammát az átlói háromszögekre bontják. Emiatt a paralelogramma szerkesztése visszavezethető háromszög szerkesztésére.

Szerkesztéses feladatokban tehát keresd meg, hogy melyik háromszöget tudod megszerkeszteni az adatokból. Mutatunk erre is egy példát!

2. Feladat: Szerkeszd meg azt a paralelogrammát, amelynek egyik oldala 5 cm, a másik oldala 7 cm, az egyik átlója 10 cm!

Megoldás: A vázlatból jól látszik, hogy ABC háromszög mindhárom oldalát ismerjük, így azt meg lehet szerkeszteni.

Ha kész az ABC háromszög, akkor a D csúcsot megkaphatjuk pl. úgy, ha B csúcsot tükrözzük az AC oldal felezőpontjára. A tükörkép lesz a paralelogramma D csúcsa.

A paralelogrammák szerkesztéséről és tulajdonságairól mindent megtanulhatsz ebből az interaktív videóból.

Az euklideszi szerkesztésekről találsz ebben a tankönyvben kiegészítő infókat. 

Milyen speciális paralelogrammák vannak?  

Minden téglalap és négyzet paralelogramma is egyben. Hiszen igaz rájuk, hogy a szemközti oldalaik párhuzamosak. A téglalap és a négyzet tehát speciális paralelogrammák.

A rombuszt olyan, mint egy „nyomott” négyzet. Tehát az oldalai egyenlőek, de nem feltétlenül merőlegesek egymásra. Így a rombusz is speciális paralelogramma.

Ez azt jelenti, hogy a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok halmaza részhalmaza a paralelogrammák halmazának. Ezt halmazábrán így tudjuk szemléltetni:

SZORZÓTÁBLA AKCIÓ

Akár 30% kedvezmény! Április 10-ig
​​​​​​​ÉRDEKEL

Milyen paralelogrammához kapcsolódó feladatok vannak? 

Láttunk már példát paralelogramma szerkesztéséhez kapcsolódó feladatra és számoltunk hiányzó szögeket. Paralelogrammák kerületének és területének kiszámítása is az egyszerűbb feladatok közé tartozik.

A paralelogramma kerületéhez kapcsolódó feladatok:

A kerületképletben, ami K = 2 ∙ ( a + b ), három adat szerepel: K, a, b. Bármelyik kettő ismeretében könnyen kiszámítható a hiányzó, harmadik adat. Mutatunk erre egy példát.

3. Feladat: Egy paralelogramma egyik oldala 8 cm, kerülete 20 cm. Mekkora a másik oldala?

Megoldás: a = 8 cm, K = 20 cm, b = ?

A kerületképletből indulunk ki : K = 2 ∙ ( a + b )

be kell helyettesíteni az adatokat: 20 cm = 2 ∙ ( 8 cm + b )

ebből azt kapjuk, hogy 10 cm = 8 cm + b, és ebből már látszik, hogy b = 2 cm.

A paralelogramma területével kapcsolatos feladattípusok

A legegyszerűbb feladattípusoknál a területképletben szereplő három adat közül (T, a, m_a) kettő ismert és a harmadik a kérdés. ( Emlékeztetőül: T = a ∙ m_a )

4. Feladat: Egy paralelogramma egyik oldala 7 cm hosszú, területe 21 cm². Mekkora a paralelogramma 7 cm-es oldalához tartozó magassága?

Megoldás: a = 7 cm, T = 21 cm²,  m_a = ?

Ilyenkor a területképletből indulunk ki, behelyettesítjük az adatokat:

T = a ∙ m_a

21 cm² = 7 cm ∙ m_a ; ebből kiszámolható a kérdéses magasság:

m_a = 3 cm ; tehát a paralelogramma 7 cm-es oldalához tartozó magassága 3 cm hosszú.

Egy másik típusfeladat, mikor egy paralelogramma mindkét oldala és az egyikhez tartozó magassága adott, és a másik oldalhoz tartozó magassága a kérdés.

5. Feladat: Egy paralelogramma oldalai 6 cm és 5 cm hosszúak. Az 5 cm-es oldalhoz tartozó magassága 4 cm. Mekkora a paralelogramma másik magassága?

Megoldás:  a = 8 cm, b = 5 cm, m_b =  6 cm, m_a = ?

Most is a területképletből indulunk ki. Kétféleképpen is kiszámolhatjuk a területet, és azt használjuk ki, hogy ezzel a két képlettel ugyanazt az eredményt kell kapnunk:

T = a ∙ m_a = b ∙ m_b - ebbe helyettesítjük az adatokat:

8 cm ∙ m_a = 5 cm ∙ 6 cm

8 cm ∙ m_a = 30cm² ; ebből könnyen kiszámolható a kérdéses magasság:

m_a = 3,75 cm (= 30:8)

Tehát a paralelogramma 8 cm-es oldalához tartozó magassága 3,75 cm hosszú.

Ez a feladat azért trükkösebb, mint az előző, mert a szövegében szó sem volt a paralelogramma területéről, mégis a területképlet volt a megoldás kulcsa.

Paralelogrammához kapcsolódó feladatok szögfüggvényekkel

Ha tanultál már a szögfüggvényekről (szinusz, koszinusz…), akkor a paralelogramma szögeiből is ki tudsz számolni adatokat.

Pl. a paralelogramma területe kiszámolható két oldalának és a közbezárt szögnek az ismeretében is: T = a ∙ b ∙ sinα

Gyakran használjuk feladatokban, hogy m_a = b ∙ sinα , illetve m_b = a ∙ sinα

Mutatunk egy példát erre:

6. Feladat: Egy paralelogramma egyik oldala 10 cm, ehhez tartozó magassága 5 cm. Az egyik szöge 40°-os. Mekkora a kerülete?

Megoldás: a = 10 cm, m_a = 5 cm, α = 40°

Az ATD derékszögű háromszögben ismerünk egy befogót és a vele szemközti szöget, így szinusz szögfüggvénnyel könnyen megkaphatjuk az átfogóját, ami a b oldal:

sinα = m_a / b

sin 40° = 5 cm / b

b = 7,78 cm

Ezután már tudjuk használni a kerületképletet:

K = 2 ∙ ( a + b ) = 2 ∙ ( 10 cm + 7,78 cm ) = 35,56 cm, tehát a paralelogramma kerülete 35,56 cm.

A szögfüggvények alkalmazását, sík- illetve térgeomatriai feladatok megoldásában ezekből az interaktív videókból tudod gyorsan elsajátítani.

Elolvasom

Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok

Mi az egészrész fogalma? Mi a törtrész fogalma? Mit kell tudni az egészrész függvényről? Mit kell tudni a törtrész függvényről?