Paralelogramma: definíció, terület, kerület, tulajdonságok
Dancsó Imre,
2022. július 19.
Paralelogramma definíciója | Paralelogramma tulajdonságai | Paralelogramma kerülete | Paralelogramma területe | Paralelogramma szerkesztése | Speciális paralelogrammák | Paralelogrammához kapcsolódó feladatok | Paralelogrammához kapcsolódó feladatok szögfüggvényekkel
Ebben a cikkben röviden összefoglaltuk a paralelogrammáról a legfontosabb tudnivalókat. Ha csak most kezdesz ismerkedni a paralelogrammákkal, itt sok hasznos dolgot találsz róluk, ha pedig ismételni szeretnél, gyorsan át tudod látni a legfontosabb ismereteket.
A paralelogramma egy speciális négyszög-fajta. Olyan, mintha egy téglalap felső oldalát arrébb nyomtuk volna, és az oldalai kicsit kidőltek volna a merőlegesből. Ha ezt megjegyzed, nem lesz gondod vele, hogy felismerd.
Mi a paralelogramma fogalma, definíciója?
A paralelogramma nevében is benne van a lényege: a „paralel” szó azt jelenti, hogy „párhuzamos”.
Definíció:
A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak.Úgy is mondhatjuk, hogy
a paralelogramma olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldalpárja.
Melyek a paralelogramma tulajdonságai?
A legfontosabb: a paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek (a párhuzamos oldalak ugyanakkorák) + a szemközti szögei is egyenlőek (ezek a szögek egyébként váltószögek az oldalak párhuzamossága miatt).
Mivel minden négyszögre igaz, hogy a belső szögeinek összege 360°, így ezt most is felírhatjuk:
2∙(α+β) = 360°. Amiből az következik, hogy α + β = 180° , vagyis a paralelogramma szomszédos szögeinek összege 180°.
Nézzünk egy feladatot, amiben ezt kell használni!
1. Feladat: Ha a paralelogramma egyik szöge 110°-os, mekkora a többi szöge?
Megoldás: Használjuk az előző összefüggést: α + β = 180°. Ebbe behelyettesítjük az adott szöget:
110°+ β = 180° , amiből már könnyen látod, hogy β = 70°.
Tehát a paralelogramma négy szöge 110°, 70°, 110°, 70°.
Paralelogramma a modern építészetben
A paralelogramma középpontosan szimmetrikus négyszög,- ebből következik, hogy átlói felezik egymást. Viszont ügyelj rá, hogy az általános paralelogramma NEM tengelyesen szimmetrikus (csak azok a paralelogrammák, amik egyben rombuszok vagy téglalapok is).
Hogyan számítható ki a paralelogramma kerülete?
Sokszögek kerületét mindig úgy számoljuk ki, hogy összeadjuk az oldalaik hosszúságát.
Paralelogramma esetén is össze kell csak adni a négy oldalának a hosszát. Mivel 2-2 szemközti oldala egyenlő hosszú, a kerületre a következőt kapjuk:
K= a + b + a + b = 2a + 2b = 2 ∙ ( a + b )
Hogyan számítható ki a paralelogramma területe?
A paralelogramma területének kiszámolásához nem elég az oldalait ismernünk, szükség van a paralelogramma magasságára is. Adott oldalhoz tartozó magasság mindig merőleges az adott oldalra, nagysága pedig a két párhuzamos oldalegyenes távolsága. Ez látszik a következő ábrán:
Azt is mutatja az ábra, hogy kétféle magassága van a paralelogrammának: az a oldalhoz tartozó magasságot ma-val, a b oldalhoz tartozó magasságot mb-vel szokás jelölni. A paralelogramma területét a következőképpen számíthatjuk ki:
T= a ∙ ma = b ∙ mb
Ebből az is látszik, hogy elég az egyik oldalt és a hozzá tartozó magasságot ismerni ahhoz, hogy kiszámítsuk a paralelogramma területét.
Hogyan szerkesszük meg a paralelogrammát?
A paralelogrammát az átlói háromszögekre bontják. Emiatt a paralelogramma szerkesztése visszavezethető háromszög szerkesztésére.
Szerkesztéses feladatokban tehát keresd meg, hogy melyik háromszöget tudod megszerkeszteni az adatokból. Mutatunk erre is egy példát!
2. Feladat: Szerkeszd meg azt a paralelogrammát, amelynek egyik oldala 5 cm, a másik oldala 7 cm, az egyik átlója 10 cm!
Megoldás: A vázlatból jól látszik, hogy ABC háromszög mindhárom oldalát ismerjük, így azt meg lehet szerkeszteni.
Ha kész az ABC háromszög, akkor a D csúcsot megkaphatjuk pl. úgy, ha B csúcsot tükrözzük az AC oldal felezőpontjára. A tükörkép lesz a paralelogramma D csúcsa.
A paralelogrammák szerkesztéséről és tulajdonságairól mindent megtanulhatsz ebből az interaktív videóból.
Heti TOP videók INGYENES tananyagok KÓDOLATLAN hétvégék Tanulási TIPPEK KÜLÖNLEGES ajánlatok Heti TOP videók
380 ingyenes tananyag!
Az euklideszi szerkesztésekről találsz ebben a tankönyvben kiegészítő infókat.
Milyen speciális paralelogrammák vannak?
Minden téglalap és négyzet paralelogramma is egyben. Hiszen igaz rájuk, hogy a szemközti oldalaik párhuzamosak. A téglalap és a négyzet tehát speciális paralelogrammák.
A rombuszt olyan, mint egy „nyomott” négyzet. Tehát az oldalai egyenlőek, de nem feltétlenül merőlegesek egymásra. Így a rombusz is speciális paralelogramma.
Ez azt jelenti, hogy a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok halmaza részhalmaza a paralelogrammák halmazának. Ezt halmazábrán így tudjuk szemléltetni:
Milyen paralelogrammához kapcsolódó feladatok vannak?
Láttunk már példát paralelogramma szerkesztéséhez kapcsolódó feladatra és számoltunk hiányzó szögeket. Paralelogrammák kerületének és területének kiszámítása is az egyszerűbb feladatok közé tartozik.
A paralelogramma kerületéhez kapcsolódó feladatok:
A kerületképletben, ami K = 2 ∙ ( a + b ), három adat szerepel: K, a, b. Bármelyik kettő ismeretében könnyen kiszámítható a hiányzó, harmadik adat. Mutatunk erre egy példát.
3. Feladat: Egy paralelogramma egyik oldala 8 cm, kerülete 20 cm. Mekkora a másik oldala?
Megoldás: a = 8 cm, K = 20 cm, b = ?
A kerületképletből indulunk ki : K = 2 ∙ ( a + b )
be kell helyettesíteni az adatokat: 20 cm = 2 ∙ ( 8 cm + b )
ebből azt kapjuk, hogy 10 cm = 8 cm + b, és ebből már látszik, hogy b = 2 cm.
A paralelogramma területével kapcsolatos feladattípusok
A legegyszerűbb feladattípusoknál a területképletben szereplő három adat közül (T, a, ma) kettő ismert és a harmadik a kérdés. ( Emlékeztetőül: T = a ∙ ma )
4. Feladat: Egy paralelogramma egyik oldala 7 cm hosszú, területe 21 cm2. Mekkora a paralelogramma 7 cm-es oldalához tartozó magassága?
Megoldás: a = 7 cm, T = 21 cm2, ma = ?
Ilyenkor a területképletből indulunk ki, behelyettesítjük az adatokat:
T = a ∙ ma
21 cm2 = 7 cm ∙ ma ; ebből kiszámolható a kérdéses magasság:
ma = 3 cm ; tehát a paralelogramma 7 cm-es oldalához tartozó magassága 3 cm hosszú.
Egy másik típusfeladat, mikor egy paralelogramma mindkét oldala és az egyikhez tartozó magassága adott, és a másik oldalhoz tartozó magassága a kérdés.
5. Feladat: Egy paralelogramma oldalai 6 cm és 5 cm hosszúak. Az 5 cm-es oldalhoz tartozó magassága 4 cm. Mekkora a paralelogramma másik magassága?
Megoldás: a = 8 cm, b = 5 cm, mb = 6 cm, ma = ?
Most is a területképletből indulunk ki. Kétféleképpen is kiszámolhatjuk a területet, és azt használjuk ki, hogy ezzel a két képlettel ugyanazt az eredményt kell kapnunk:
T = a ∙ ma = b ∙ mb - ebbe helyettesítjük az adatokat:
8 cm ∙ ma = 5 cm ∙ 6 cm
8 cm ∙ ma = 30cm2 ; ebből könnyen kiszámolható a kérdéses magasság:
ma = 3,75 cm (= 30:8)
Tehát a paralelogramma 8 cm-es oldalához tartozó magassága 3,75 cm hosszú.
Ez a feladat azért trükkösebb, mint az előző, mert a szövegében szó sem volt a paralelogramma területéről, mégis a területképlet volt a megoldás kulcsa.
Paralelogrammához kapcsolódó feladatok szögfüggvényekkel
Ha tanultál már a szögfüggvényekről (szinusz, koszinusz…), akkor a paralelogramma szögeiből is ki tudsz számolni adatokat.
Pl. a paralelogramma területe kiszámolható két oldalának és a közbezárt szögnek az ismeretében is: T = a ∙ b ∙ sinα
Gyakran használjuk feladatokban, hogy ma = b ∙ sinα , illetve mb = a ∙ sinα
Mutatunk egy példát erre:
6. Feladat: Egy paralelogramma egyik oldala 10 cm, ehhez tartozó magassága 5 cm. Az egyik szöge 40°-os. Mekkora a kerülete?
Megoldás: a = 10 cm, ma = 5 cm, α = 40°
Az ATD derékszögű háromszögben ismerünk egy befogót és a vele szemközti szöget, így szinusz szögfüggvénnyel könnyen megkaphatjuk az átfogóját, ami a b oldal:
sinα = ma / b
sin 40° = 5 cm / b
b = 7,78 cm
Ezután már tudjuk használni a kerületképletet:
K = 2 ∙ ( a + b ) = 2 ∙ ( 10 cm + 7,78 cm ) = 35,56 cm, tehát a paralelogramma kerülete 35,56 cm.
A szögfüggvények alkalmazását, sík- illetve térgeomatriai feladatok megoldásában ezekből az interaktív videókból tudod gyorsan elsajátítani.
Matek- és fizikatanár
Egészrész és törtrész függvény: definíció, feladatok
Mi az egészrész fogalma? Mi a törtrész fogalma? Mit kell tudni az egészrész függvényről? Mit kell tudni a törtrész függvényről?