Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös: így számítsd ki a legkönnyebben! + kalkulátor

Mi a legnagyobb közös osztó? | Mi a legkisebb közös többszörös? | Hogyan számoljuk ki? | Prímtényezős felbontás | Számolás prímtényezős felbontással

Legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös kalkulátor

A kérdés így hangzik:

Mennyi (4200:720) legkisebb közös többszöröse, valamint legnagyobb közös osztója?

Mennyi (2700:1008) legnagyobb közös osztója, és legkisebb közös többszöröse?

A kérdésre választ kapsz, a  cikk alján részletesen megtalálod a választ. Ebből a minivideóból pedig részletesen megtanulhatod a módszert!

Kattints a lejátszáshoz!

Próbáld ki elfektetve a telefont.

0

0:00

Feliratkozom

Az lnko-t és lkkt-t is ki lehet számolni prímtényezősfelbontás nélkül is. Ha szeretnél többet tudni a legnagyobb közös osztóról és legkisebb közös többszörösről, akkor

• a 6. osztályos tananyagban gyorsan át tudod venni a részletes magyarázatot, és még be is gyakorolhatod ezek kiszámítását.
• vagy olvass tovább!

Nézzük meg a kérdést részletesebben:

Mi a legnagyobb közös osztó? (prímtényezős felbontás nélkül)

Egy egész szám pozitív osztói azok az egész számok, amelyekkel osztva a hányados egész szám, a maradék pedig 0. (Pl. 24 osztói: 1,2,3,4,6,8,12,24) Több szám közös osztói azok a számok, amelyek minden adott számnak osztói. Pl. 24 és 30 közös osztói: 1,2,3,6.

A közös osztók közül a legnagyobbat nevezzük a legnagyobb közös osztónak (röviden: lnko) (pl.: 24 és 30 legnagyobb közös osztója a 6.)

Bármely két természetes számnak van legnagyobb közös osztója, mert minden természetes számnak osztója az 1. A legnagyobb közös osztó jelölése: (a;b)=c. Ez azt jelenti, hogy a és b természetes számoknak a legnagyobb közös osztója c.

Mit jelent a legkisebb közös többszörös?

Egy a természetes szám többszöröse a b természetes számnak, ha van olyan természetes szám, amellyel b-t megszorozva a-t kapunk. (Pl. 60 többszöröse a 15-nek, mert 15*4 = 60 ) Két szám közös többszörösei azok a számok, amik mindkét számnak többszörösei. (pl. 15 és 20 közös többszörösei: 60, 120, 180, … - végtelenül folytathatnánk)

A közös többszörösök közül a legkisebbet a két szám legkisebb közös többszörösének nevezzük (röviden lkkt). 15 és 20 legkisebb közös többszöröse így a 60.

Bármely két számnak végtelen sok közös többszöröse van. A legkisebb közös többszörös jelölése: [a;b]=c. Ez azt jelenti, hogy a és b természetes számok legkisebb közös többszöröse c.

Hogyan számoljuk ki két szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét?

Ha egy ingyenes videó formájában ismerkednél meg a módszerrel, akkor nézd meg az Lnko, lkkt röviden tananyagunkat!

1. prímtényezős felbontás nélkül:

A legnagyobb közös osztó kiszámolásához felírjuk mindkét szám osztóit növekvő sorrendben. Megnézzük, melyek a közösek, és ezek között mi a legnagyobb. Az így megtalált szám a legnagyobb közös osztó.

A legkisebb közös többszörös kiszámolásához felírjuk a két szám többszöröseit egymás után. Amikor elsőnek találunk közös számot a két felírásban, akkor megkaptuk a legkisebb közös többszöröst.

​​​​​​​

Mire jó a prímtényezős felbontás?

Minden összetett számot fel tudunk bontani prímszámok szorzatára. (Ez a felbontás egyértelmű – ld. bővebben a számelmélet alaptétele.) A prímtényezős felbontásból gyorsan meg lehet határozni a számok osztóit, többszöröseit, és választ kaphatunk különböző oszthatósági kérdésekre. Nagy számok esetén a prímtényezős felbontás segítségével tudjuk meghatározni gyorsan és egyszerűen a legnagyobb közös osztót, és legkisebb közös többszöröst.

Erről a videóról tudod megtanulni a prímtényezős felbontást»

Hogyan számoljuk ki a legnagyobb közös osztót és legkisebb közös többszöröst a prímtényezős felbontásból?

Mindkét számnak elkészítjük a prímtényezős felbontását. Ez alapján fogjuk megkeresni a legnagyobb közös osztót, és a legkisebb közös többszöröst.

A legnagyobb közös osztó számolásához megnézzük, melyek a közös prímszámok, amik megjelentek a prímtényezős felbontásban. A közös prímszámokat a szereplő legkisebb kitevőn vesszük és összeszorozzuk őket. A szorzat éppen a legnagyobb közös osztó lesz:

A legkisebb közös többszörös számolásához vesszük a két szám felbontásából az összes előforduló prímtényezőt, mindegyikből a legnagyobb hatványkitevőjűt. Ezek szorzata lesz a legkisebb közös többszörös.

Feladat

Mennyi (4200:720) legkisebb közös többszöröse, valamint legnagyobb közös osztója?

Mennyi (2700:1008) legnagyobb közös osztója, és legkisebb közös többszöröse?

Válasz 

Fel kell írni a számok prímtényezős felbontását.
4200 = 2³ · 3 · 5² · 7
720 = 2⁴ · 3² · 5
A legnagyobb közös osztó kiszámolásánál a közös prímtényezőket kell vennünk a kisebbik kitevőn:
(4200 ; 720) = 2³ · 3 · 5

A legkisebb közös többszörös esetén az összes prímtényezőt kell a legnagyobb kitevőn összeszorozni:
[4200 ; 720] = 2⁴ · 3² · 5² ·7

A másik számpár esetén hasonlóan:
2700 = 2² · 3³ · 5²
1008 = 2⁴ · 3² · 7

(2700 ; 1008) = 2² · 3²
[2700 ; 1008] = 2⁴ · 3³ · 5² · 7

Dancsó Imre
Matek- és fizikatanár