A Pitagorasz-tétel egyszerűen + Kalkulátor

Mi a Pitagorasz-tétel? | Bizonyítás | A tétel megfordítása | Alkalmazás | Pitagoraszi számhármasok

Kérlek add meg a fenti háromszög segítségével a feladatod megadott adatait.
Kérlek tarsd be az alábbi szabályokat:

• Az értékeket mindig ugyanabban a mértékegységben add meg!
• Mindig csak számokat írj a mezőkbe mértékegység nélkül!
• A három érték közül mindig csak kettőnek adj értéket!
• Törtszám esetén tizedesvessző helyett, mindig tizedes pontot használj!

Átfogó, leghosszabb vagy c oldal:
Befogó 1 vagy a oldal:
Befogó 2 vagy b oldal:

Számol

A Pitagorasz tétel egy nagyon fontos tétel a derékszögű háromszögekről. Már az ókorban is ismerték, Pitagorasz előtt is. Földterületek kijelölésére használták, a derékszögeket tudták így nagyon pontosan kijelölni.

Mi az a Pitagorasz-tétel?

A Pitagorasz-tétel azt mondja ki, hogy a derékszögű háromszög oldalai között van egy fontos összefüggés: a leghosszabb oldalának a négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével.

Azaz a négyzet meg b négyzet egyenlő c négyzettel. (a² +b² = c²)

Hogyan bizonyítjuk a Pitagorasz-tételt?

A bizonyítására többféle módszer is van. A legszemléletesebb talán az, ahol egy a + b oldalú négyzetet fölosztunk kétféleképpen:

Az első esetben a, b befogójú kis háromszögeket rakunk a négyzetnek az oldalaira, így középen marad egy négyszög. Erről a négyszögről bebizonyítható, hogy az egy négyzet. Miért?  Azt mindenki látja, hogy az oldala c hosszúságú, hiszen a derékszögű háromszög leghosszabb oldala. Azt, hogy a négyszögnek minden szöge derékszög, úgy láthatjuk be, hogy a derékszögű háromszög szögeinek összegéről tudjuk, hogy 180 °, és mivel a 90 °-os szögön kívüli két szög ott látszik a négyszög mellett, ezért a négyszög szöge csak derékszög lehet. Az első nagy négyzetben tehát egy c négyzet oldalú négyzet helyezkedik el belül, mellette pedig 4 db a, b befogójú derékszögű háromszög.

Nézzük most a másik nagy négyzetet! Ott úgy helyeztük el a kis derékszögű háromszögeket, hogy mellette két kisebb négyszög maradt. Erről a két kisebb négyszögről ránézve is látható, hogy az egyik egy a oldalú négyzet, a másik pedig egy b oldalú négyzet. Ha most a két nagy négyszöget összehasonlítjuk, akkor azt látjuk, hogy ugyanakkora területen az egyikben a négy kis háromszög mellett egy c² nagyságú terület van, a másikban pedig egy a²  és egy b² nagyságú terület. Tehát a c² -nek egyenlőnek kell lenni a² + b² -tel.

Mi a Pitagorasz-tétel megfordítása?

Megfordítva az előző tételt, így hangzik: Ha egy háromszög oldalaira igaz az, hogy a² +b² = c², akkor az a háromszög derékszögű. A Pitagorasz-tétel megfordítását felhasználhatjuk arra, hogy bebizonyítsuk egy háromszögről, hogy derékszögű-e vagy sem. Ha leghosszabb oldalára teljesül, hogy az oldal négyzete a másik két oldal négyzetével egyenlő, akkor a háromszög derékszögű. Ám ha ez nem teljesül rá, akkor a háromszög nem derékszögű. Sőt ennél többet is lehet állítani. Ha a leghosszabb oldal négyzete nagyobb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor a háromszög tompaszögű, ha a leghosszabb oldal négyzete kisebb, mint a másik két oldal négyzetösszege, akkor a háromszög hegyesszögű.

Hogyan alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt?

A tételt leginkább derékszögű háromszögek hiányzó oldalának a kiszámítására alkalmazzuk. Célszerű mindig megkeresni a háromszög leghosszabb oldalát (ha van ilyen). Ha arra írjuk fel a Pitagorasz-tételt, tehát hogy a leghosszabb oldal négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével, akkor nem téveszthetjük el az összefüggést. Ebben az esetben bármelyik oldal hiányzik, azt egyenletrendezéssel kiszámolhatjuk. Nézzünk néhány példát.

Az első esetben a két befogót ismerjük. Az átfogó ezekből könnyen kiszámolható. A két ismert befogót négyzetre kell emelni, ezeket össze kell adni és az eredményből gyököt vonni.

A második esetben az átfogót és az egyik befogót ismerjük. Most is érdemes az átfogóval kezdeni. Az egyenlőség másik oldalán az ismeretlen oldal négyzete áll + az ismert befogó négyzete. Ebből az ismeretlen befogót úgy kaphatjuk meg, ha az átfogó négyzetéből kivonjuk az ismert befogó négyzetét, majd a különbségből gyököt vonunk.

Pitagorasz tétel a gyakorlatban, pitagoraszi számhármasok

Az ókori indiai, kínai, babilóniai matematikusok is ismerték már évszázadokkal Püthagorasz előtt ezt az összefüggést, és a kínaiak kidolgoztak rá bizonyítást is.

Az egyiptomiak csomókkal 3, 4 és 5 részre osztott kötelet használták a derékszög előállítására. Ehhez összesen 13 darab egyforma távolságban kötött csomóra volt szükségük. Így egy olyan derékszögű háromszög jött létre, amelynek oldalai megfelelnek a Pitagorasz-tételnek, hiszen ​3²+4²=5². Ez a 3; 4; 5 számhármas egy un. Pitagoraszi számhármas.

A pitagoraszi számhármasok

A pitagoraszi számhármasok három olyan pozitív egész számból állnak, amikre teljesül a Pitagorasz-tétel, vagyis a két kisebb szám négyzetének összege egyenlő a legnagyobb szám négyzetével.

Ilyen például a 3, 4, 5, vagy az 5, 12, 13. Természetesen egy ilyen számhármas pozitív egész számú többszöröse is pitagoraszi számhármas, tehát a 6, 8, 10 is ilyen.

Végtelen sok pitagoraszi számhármas van, ezt Euklidesz bizonyította be először.

Ma is remekül lehet használni:

• pl. minőségi asztalos munkánál, ha tudni akarjuk, hogy valóban derékszögű-e, illetve merre hajlik a fal, hogy a bútorokat megfelelően oda tudjuk illeszteni,
• ha szeretnénk kiszámítani az átlós elemek hosszát (pl. falikar, tetőgerendák, stb.),
• lejtők, emelkedők hosszúságának, magasságának kiszámítására,
• ha egy függőleges rudat, tornyot kábelekkel rögzítünk, a kábelek hosszának, ill. távolságának kiszámítására

Tovább a Matek Oázis tananyagokhoz

B.B.Bea
A szerethető matektanulás szakértője, matektanár