5. tétel : Hatványozás és a hatványfogalom kiterjesztése, a hatványozás azonosságai. Az n-edik gyök fogalma. A négyzetgyök azonosságai. Hatványfüggvények és a négyzetgyökfüggvény.

A tétel kifejtésében először a pozitív egész kitevős hatványozásról, a művelet azonosságairól szeretnék beszélni, majd a hatványozás kiterjesztéséről először negatív egészekre, végül a valós számokra. Majd a hatványozás műveletének inverzéről, a gyökvonásról beszélek, a négyzetgyök azonosságairól, hatványfüggvényekről és négyzetgyökfüggvényről, végül ezek jellemző tulajdonságairól.

Mi a hatványozás, hogyan értelmezzük pozitív egész számokra?

A hatványozás két szám között értelmezett matematikai művelet. Jelölése

Amennyiben az a pozitív egész szám, az aⁿ pontosan n db azonos, a-val jelölt szám szorzata.

n = 1 esetén nem beszélhetünk szorzatról, definíció szerint minden szám első hatványa önmaga.

A hatványozás azonosságai

Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk össze, hogy az alap változatlan, ezt a kitevők összegére kell emelni.

Azonos alapú hatványok hányadosa is velük azonos alapú hatvány lesz, a kitevőt pedig úgy kapjuk, hogy a számláló kitevőjééből kivonjuk a nevező kitevőjét.

Ezek az azonosságok könynen igazolhatók a definíció alapján, a videón megmutatjuk, hogyan.

A következő azonosság is hasonlóan bizonyítható, hatvány hatványozásakor a kitevők összeszorzódnak.
Különböző alapú, de azonos kitevőjű hatványokkal is végezhetünk műveleteket. Ha összeszorozzuk őket, akkor megtehetjük, hogy először az alapokat összeszorozzuk, és csak utána hatványozzuk a szorzatot.

Ez egyben azt is jelenti visszafelé, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ugyanígy a törtek esetében is a tört hatványa nem más, mint a számláló és a nevező megfelelő hatványának hányadosa.

Mit jelent a negatív egész kitevőjű hatvány?

A permanencia-elv alapján amennyiben nem a nullát hatványozzuk, bármely szám nulladik hatványát 1-nek definiáljuk.

A negatív kitevőt is tudjuk értelmezni, tetszőleges nem nulla valós alap és n pozitív kitevő esetén az lesz.

Hogyan értelmezzük, amikor racionális és irracionális szám van a hatvány kitevőjében?

Egy a pozitív szám n/m-edik hatványa alatt azt a valós számot értjük, amelyet m. hatványra emelve az a n. hatványát kapjuk.

Irracionális kitevőjű hatványt pedig azonos alapú, de racionális kitevős hatványok sorozatának határértékeként fogjuk fel. Igazolhatjuk, hogy az irracionális kitevős hatvány, mint határérték létezik, az azonosságok ugyanúgy érvényben maradnak.

A gyökvonás műveletének definíciója

A gyökvonás a megfelelő értelmezési tartomány mellett a hatványozás inverz művelete.

Egy nem negatív valós szám 2k-adik, azaz páros gyöke alatt azt a nemnegatív valós számot értjük, amelyet 2k-adik hatványra emelve az a nem negatív valós számot kapjuk vissza.

A 2k+1-edik gyök műveletét valós számokon tudjuk végezni, 2k+1-edik gyöke egy valós számnak az a szám lesz, amelyet 2k+1. hatványra emelve az a számot kapjuk vissza.

Fontos kapcsolat van a racionális törtkitevő és a gyökvonás között:

n-edik gyök ( a^m) = a^n/m megfelelő értelmezési tartomány mellett, m pozitív egész szám. Racionális kitevő esetén nem értelmezzük, ha az alap negatív szám, hiszen akkor az m. gyök műveletének elvégzésénél problémák adódhatnának.

A négyzetgyök és a köbgyök a két leggyakrabban alkalmazott művelet

A az a nemnegatív valós szám, amelyet önmagával megszorozva az a számot kapjuk vissza.

A gyökvonás és a hatványozás művelete felcserélhető, ugyanez a helyzet akkor, ha negatív számról és páratlan gyökről van szó. Viszont ha a valós számok halmazán először emelünk páros kitevőre, majd ugyanennyiedik gyököt is vonunk, akkor a szám abszolútértékét kapjuk meg, nem negatív számok esetén magát a számot, negatív számok esetén pedig az ellentettjüket.

A gyökvonás azonosságait ismertetjük

Az a és b nem negatív valós számok. Szorzatuk négyzetgyöke egyenlő a tényezők négyzetgyökének szorzatával. A tétel bizonyítását a videón részletezzük.

További azonosságok: a nem negatív és pozitív valós számok estén a hányadosuk négyzetgyöke egyenlő a négyzetgyökeik hányadosával.

Nem negatív alap esetén a hatványozás és a négyzetgyökvonás felcserélhető művelet, természetesen a 0 a nulladikon nincs értelmezve.

A hatványfüggvényeket, és a tulajdonságaikat nézzük végig

Hatványfüggvénynek nevezzük azt a függvényt, melynek értelmezési tartománya a valós számok halmaza, a függvény x-hez az x n-edik hatványát rendeli hozzá, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. Páros n-ek esetén a függvények grafikonja parabola alakú, egyre nagyobb hatvány esetén a parabola egyre szűkebb. Páratlan n-ek esetén pedig egy ilyen szép ívelt görbét kapunk, mivel negatív x-ek esetén a páratlan hatvány negatív lesz.

A függvények jellemzésére is kitérünk, értékkészlet, páros/páratlan tulajdonság, monotonitás, szélsőérték, korlátosság, folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság szempontjai alapján.

Megnézzük azt is, hogyan változnak transzformált függvények esetén a függvény tulajdonságai.

Mit kell tudni a négyzetgyökfüggvényről és tulajdonságairól?

A négyzetgyökfüggvény a nemnegatív valós számok halmazáról képez le valós számokhalmazára, x-hez annak négyzetgyökét rendeli.

Grafikonja egy fél fektetett parabola. A nemnegatív számok halmazán ez a függvény az

függvény inverze.

Értelmelmezési tartománya és értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.

További szempontok a függvényjellemzéshez: monotonitás, szélsőérték, korlátosság, folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság.

A hatványozás és a gyökvonás rengeteg helyen kap szerepet a feladatok megoldásában. Egyenletekben, geometriában, térgeometriában, Hasonlósági feladatok, egyéb geometriai számítások esetén gyakran kell hatványozni vagy gyököt vonni. Ugyanakkor a kamatos kamat számításnál, mértani sorozatoknál, számrendszerek, vagy akár a mértékváltás esetén is fontos.