4. tétel: A matematikai logika elemei. Logikai műveletek. Állítás és megfordítása, szükséges és elégséges feltételek, bemutatásuk tételek megfogalmazásában és bizonyításában

Elmondjuk neked a teljes kidolgozott tételt, és látod, mit kell a táblára írnod, majd segítünk ezt megtanulni is

Alapfogalmak:

Az állítás definíciója: olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen el lehet dönteni, hogy igaz vagy hamis.

Az állításoknak logikai értéke van: egy állítás lehet igaz, vagy hamis.

Milyen logikai műveleteket kell tudnod?

A tagadás egyváltozós művelet. Egy állítás tagadása az a kijelentés, amely akkor igaz, ha az állítás hamis, és akkor hamis, ha az állítás igaz.

Az ÉS-sel összekapcsolt összetett állítás (konjunkció) logikai értéke csak akkor lesz igaz, ha mindkét állítás igaz volt. Különben hamis a logikai érték.

Diszjunkció („ megengedő VAGY”): Amennyiben legalább az egyik állítás igaz a két állítás közül, a VAGY-gyal összekötött állítás is igaz lesz.

Az implikáció csak abban az esetben ad hamis logikai értéket, ha az előtag igaz, az utótag pedig hamis.

Ekvivalencia: akkor igaz két állítás ekvivalenciájának logikai értéke, ha az állítások logikai értéke azonos.

A logikai műveletek tulajdonságai

A logikai műveletek kommutatívak ; asszociatívak és mindkét művelet disztributív a másikra nézve.

Két vagy több állításból logikai művelettel és zárójelek alkalmazásával többszörösen összetett kifejezéseket kapunk.

A logikai értéktáblázat készítése egyben bizonyítási módszer is. Két logikai állítás akkor egyenlő, ha a bennük szereplő állítások minden logikai értékére ugyanolyan igazságértéket adnak.

De-Morgen azonosságok

1. Tétel: "A és B" állítás negáltja egyenlő negált A vagy negált B-vel.

2. Tétel: "A vagy B" állítás negáltja egyenlő negált A és negált B-vel.

A matematikai tételek többsége implikáció vagy ekvivalencia.

Az előtagot igaznak tekintve a "ha A, akkor B" igaz, akkor azt mondjuk, hogy B állítás következik A-ból. Ilyenkor az A elégséges feltétele B-nek, a B pedig szükséges feltétele A-nak.

Ha B következménye A-nak, de A nem következménye B-nek, akkor B szükséges, de nem elégséges feltétele A-nak.

Ha A ekvivalens B-vel, akkor B szükséges és elégséges feltétele is egyben A-nak.

Állítás és megfordítása:

Ha egy matematikai tételt leírhatunk formálisan a „ha A, akkor B” szerkezettel, akkor a tétel megfordítása a „ha B, akkor A” szerkezetű állítás lesz.

Pitagorasz -tétel és megfordítása egy ekvivalencia:

Akkor és csakis akkor derékszögű egy háromszög, ha két kisebb oldalának négyzetösszege megegyezik a legnagyobb oldal négyzetével.

Húrnégyszögek tétele és megfordítása is ekvivalencia, hiszen egy négyszög akkor és csakis akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.

Vannak nem megfordítható állítások. Pl.: Ha egy szám osztható 36-tal, akkor abból következik, hogy a szám osztható 9-cel.

Visszafelé ez nem igaz; a 9-cel való oszthatóság szükséges feltétele a 36-tal való oszthatóságnak, de nem elégséges feltétele.

Annak belátására, hogy egy állítás nem igaz, elegendő egyetlen ellenpélda is.

A logikai állítások algebrai formába öntése Bool angol matematikushoz fűződik. (Bool-algebra)