24. tétel: Permutációk, variációk. A binomiális eloszlás. A valószínűség kiszámításának geometriai modellje.

A kidolgozott tételt látod-hallod a videón, pontosabban azt látod, amit a vizsgán érdemes felírnod a táblára. Az előző tételhez hasonlóan itt is kombinatorikai és valószínűségszámítási ismereteket kell bemutatni.

Mi az a permutáció, milyen feladatokhoz kapcsolódik, hogyan kell kiszámolni? Mi a különbség az ismétlés nélküli és az ismétléses permutáció között?

Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését, azaz sorrendjét értjük.

Tétel: Egy n elemű halmaz ismétlés nélküli permutációinak száma n faktoriálissal egyenlő.

Bizonyítás: Az n db hely közül az első helyre n féle elem közül választhatok, ezért a lehetőségek száma n. A második helyre már csak (n-1) elem közül tudok választani, hiszen az első helyre már választottam. Ezt a gondolatmenetet folytatva egyértelmű, hogy az utolsó előtti helyre 2, az utolsó helyre pedig 1-féle elem közül tudok választani. A választások egymástól függetlenek, így a lehetőségek számát össze kell szorozni, így kapunk n!-t.

Ha az n elem között van n₁, n₂, …, n_k egymással megegyező, akkor az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Ha n elem között n1, n2, … nk db megegyező van, és n₁+n₂+…+ n_k=n, akkor az ismétléses permutációk számához n!-t osztani kell n₁! -sal, n₂!-sal, stb… n_k!-sal.

Mi a variáció, mi a különbség az ismétlés nélküli és az ismétléses variáció között? Hogyan kell kiszámolni a lehetséges variációk számát?

Vegyünk n db egymástól különböző elemet. Ha ezekből kiválasztunk k db-ot minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít, akkor az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációját kapjuk. Kikötjük, hogy k kisebb vagy egyenlő, mint n. Azt a tételt bizonyítjuk a videón, hogy az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak száma n!/(n-k)!

Definiáljuk az ismétléses variációt: Legyen n db egymástól különböző elemünk. Ha ezekből kiválasztunk k db-ot az összes lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít, és egy elemet többször is választhatunk, akkor az n elem egy k-ad osztályú ismétléses variációját kapjuk. Tétel mondja ki, hogy n elem k-ad osztályú ismétléses variációinak száma nk.

Mit jelent a valószínűségi változó?

Ehhez először szükséges definiálni a valószínűségi változót. A diszkrét valószínűségi változó az eseménytéren értelmezett valós értékű függvény. Általában kszível, vagy nagy X-szel jelöljük. Ha a valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma véges, vagy megszámlálhatóan végtelen, akkor diszkrét valószínűségi változóról beszélünk.

Milyen eloszlás a binomiális-eloszlás?

A binomiális-eloszlás olyan kísérletnél fordul elő, amelynek csak két kimenetele lehetséges, azaz A esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Azt is mondhatjuk, hogy A esemény bekövetkezése a kedvező eset, ennek a valószínűsége p. A kedvezőtlen esemény valószínűsége, azaz, hogy A esemény nem következik be 1-p.

Tétel: Binomiális eloszlásnál, ha a kísérletet n-szer ismételjük, akkor annak a valószínűsége, hogy az A esemény k-szor következik be, úgy adható meg, hogy n alatt a k-szor p^k*(1-p)^n-k. Itt is ki kell kötni, hogy k kisebb vagy egyenlő, mint n. Megemlíteném, hogy binomiális eloszlásra vezetnek a visszatevéses mintavétel esetei. A binomiális-eloszlás várható értéke könnyen számolható. Az eloszlás két paraméterét n-t és p-t kell összeszorozni.

Matematikatörténeti vonatkozásokat is említünk a valószínűségszámítással és kombinatorikával kapcsolatban.

Mi a geometriai valószínűség? Hogyan kell kiszámítani?

Ha az eseménytér nem megszámlálható halmaz, de mérhető (például van hossza, területe vagy térfogata), az eseményei mérhetők, és valószínűségük egyenesen arányos a méretükkel, akkor ezt az eseményteret geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük. Ekkor az A esemény valószínűsége számítható úgy, hogy az A eseménynek megfelelő részalakzat mértékét elosztjuk a kísérlettel kapcsolatos teljes alakzat mértékével. Ezt általában úgy jelöljük, hogy m/M.

Néhány gyakorlati példát sorolunk fel végül a geometriai valószínűség alkalmazására.