23. tétel: Kombinációk. Binomiális tétel, a Pascal-háromszög. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. A hipergeometrikus eloszlás.

A tételt kifejtve hallani fogod a videón, és közben megmutatjuk, mit érdemes a táblára írnod az emelt szintű szóbeli felelésnél. A tétel a témája a kombinatorika, és a valószínűségszámítás. Ezek véletlen tömegjelenségek törvényszerűségeivel foglalkoznak.

Mik azok a kombinációk, és hogyan lehet kiszámolni őket?

n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációi: Legyen n egymástól különböző elemünk. Ha ezekből k darabot kiválasztunk minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációit kapjuk. Azt a tételt bizonyítjuk, hogy az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak a számát az n alatt a k binomiális együttható adja meg. A binomiális együtthatók kiszámításának a módját is megnézzük a videón, és részletezzük a bizonyítást.

Az ismétléses kombináció definíciója így szól: Ha n különböző elemből kell k db-ot kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít, és a már kiválasztott elemeket újra kiválaszthatjuk, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Tétel mondja ki ezek számát, ez pedig éppen n+k-1 alatt a k.

Miről szól a binomiális tétel?

Egy kéttagú összeg hatványozására ad összefüggést a binomiális tétel: egy kéttagú összeget úgy is n-edik hatványra emelhetünk, hogy összeadjuk a két tag összes olyan hatványának szorzatát, melyben a hatványok kitevőinek összege a kéttagú összeg kitevője, azaz n. Ezt megszorozzuk egy binomiális együtthatóval, mégpedig a Pascal-háromszög n-edik sorának annyiadik elemével, ahányadaik hatványon az első tag áll a szorzatokban Fontos megemlíteni, hogy a Pascal-háromszögben a sorok és a sorok elemeinek számozását is a 0-tól kezdjük.

Milyen tulajdonságai vannak a binomiális együtthatóknak?

A binomiális együttható két tulajdonságát ismertetem most: Mivel 0! definíció szerint 1-el egyenlő, ezért n alatt a 0 és n alatt az n is 1-gyel egy. A második tulajdonság, hogy az n elem közül k darabot és n-k darabot is ugyanannyi-féleképpen lehet kiválasztani. Tehát n alatt a k és n alatt az n-k egyenlők.

Az eddig ismertetett definíciók és tételek segítségével megoldhatunk olyan kiválasztási problémákat, mint például hogy hányféleképp lehet kitölteni egy ötöslottó szelvényt. Vagy például ki tudjuk számolni, hogy egy n elemű halmaznak hány darab k elemű részhalmaza van.

Mi a Pascal háromszög? Hogyan számíthatjuk ki az elemeit?

A Pascal háromszög lényegében a binomiális együtthatók háromszög alakban való elrendezése. Ahogy már említettem a sorok számozása nullával kezdődik. A páros számú és páratlan számú sorokban a számok el vannak csúsztatva egymáshoz képest. A háromszög felírása nem nehéz, az első sorba csupán egy egyest kell írni. A következő sorok felírásánál a szabály a következő: az új számot úgy kapjuk meg, ha összeadjuk a felette balra és felette jobbra található két számot. Az n. sor k. elemének kiszámítására a képletet a háromszög névadója, a francia matematikus Pascal adta meg. A Pascal háromszög n-edik sorában a kéttagú összeg n-edik hatványának együtthatói, azaz a binomiális együtthatók állnak.

Mit jelent a valószínűségszámítás kombinatorikai modellje?

A valószínűségszámítás axiómái:

1.) Tetszőleges A esemény valószínűsége nagyobb vagy egyenlő mint 0 és kisebb vagy egyenlő, mint 1.

2.) Biztos esemény valószínűsége 1, lehetetlen esemény valószínűsége 0.

3.) Ha A és B egymást kizáró események, akkor a valószínűség így is számolható: P(A+B) = P(A) + P(B)

A esemény valószínűsége és A esemény komplementerének a valószínűsége együtt 1-el egyenlő.

Mi a hipergeometrikus eloszlás és hogyan számolhatjuk ki?

Most áttérnék a diszkrét eloszlásokon belül a hipergeometrikus eloszláshoz. Ehhez definiáljuk először a valószínűségi változót, majd a hipergeometrikus eloszlást, és elmondjuk annak jellemzőit, és megmutatjuk a kiszámításának módját. A hipergeometrikus eloszlás várható értékét is felírjuk.

Matematikatörténeti vonatkozásokra is kitérünk a tétel kifejtése közben.