18. tétel: Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbontási tétel. Vektorok koordinátái. Skaláris szorzat.

A kidolgozott tételt fogod látni/ hallani a videón úgy, ahogyan azt a vizsgán is egy az egyben elmondhatod. Azokat érdemes felírni a táblára, amit a videón látsz kékkel. A videó 2. felében segítünk megtanulni is a tételt.

Mit kell tudni a vektorokról?

Az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. A szakasz azért irányított, mert van kezdőpontja és végpontja. Ez egy szemléletes megoldás, a vektor alapfogalom, nem definiáljuk. Egy vektort két mennyiséggel lehet jellemezni, a hosszával és az irányával. A vektor abszolútértéke definíció szerint a vektort meghatározó irányított szakasz hosszát jelenti. A nulla hosszúságú vektort nullvektornak nevezzük. Ennek a vektornak az iránya tetszőleges. A tetszőleges irány annyit tesz, hogy mindig annyi, amennyi szükséges: a nullvektor lehet párhuzamos és merőleges is egy másik vektorhoz viszonyítva.

Két nem nullvektor szöge 0°, ha egyirányúak, 180° ha ellentétes irányúak, más esetben a két vektor iránya által meghatározott két szög közül a kisebb.

Milyen műveleteket végezhetünk vektorokkal, és hogyan?

A vektorok között műveleteket értelmezünk. a és b vektor összege annak az eltolásnak a vektora, amellyel helyettesíthető az a vektorral és a b vektorral történő eltolások egymásutánja. A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív művelet. Középiskolában vektorok összeadására a háromszög szabályt és a paralelogramma szabályt használtuk.

Az a és b vektor különbségén azt a c vektort értjük, amelyre a = b + c teljesül. Ezzel ekvivalens az a definíció, hogy az a-hoz hozzáadjuk a b ellentettjét.

Most ismertetem a vektor skalárral való szorzását. Egy nullvektortól különböző a vektor tetszőleges alfa valós számmal, azaz skalárral vett szorzata egy olyan vektor, amelynek abszolút értéke alfa*|a|; Az irána alfa > 0 esetén az a vektorral egyirányú; alfa<0 esetén a vektorral ellentétes irányú. A nullvektort bármilyen valós számmal szorozva nullvektort kapunk. A skalárral vett szorzás disztributív és asszociatív.

Mit jelent a vektorok felbontása?

Tetszőleges a, b vektorokkal és alfa, béta valós számokkal képzett alfa*a + béta*b vektort az a és b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.Tétel: Ha a és b nullvektortól különböző párhuzamos vektorok, akkor pontosan egy olyan alfa valós szám létezik, amelyre b = alfa*a.

Tétel: ha a és b nullvektortól különböző nem párhuzamos vektorok, akkor a velük egy síkban levő minden c vektor egyértelműen előáll a és b vektorok lineáris kombinációjaként. Ez azt jelenti, hogy c egyértelműen felbontható a-val és b-vel párhuzamos összetevőkre. A lineáris kombinációban előforduló a és b vektorokat bázisvektoroknak nevezzük.

Hogyan lehet vektorokkal számolni a koordinátageometriában?

A síkbeli derékszögű koordinátarendszer bázisvektorai az origóból az (1;0) és a (0;1) pontba mutató i és j egységvektorok. A derékszögű koordinátarendszerben az A (a₁;a₂) pont helyvektora az origóból az A pontba mutató vektor. A derékszögű koordináta-rendszerben egy vektor koordinátáinak nevezzük az origó kezdőpontú, vele egyenlő helyvektor végpontjának koordinátáit.

Tétel: A koordinátasík összes v vektora egyértelműen előáll i és j egységvektorok lineáris kombinációjaként: v = v₁*i + v₂*j Az így meghatározott (v₁;v₂) rendezett számpárt a v vektor koordinátáinak nevezzük.

A koordináták segítségével az A(a₁;a₂) pontból a B(b₁;b₂) pontba mutató vektor koordinátái felírhatók a pontok koordinátáiból. A vektor hossza is kiszámítható ezekkel a megfelelő összefüggésből. Ha ismerjük egy vektor kezdőpontját és végpontját, akkor meg tudjuk határozni a vektor koordinátáit úgy, ahogy a videón mutatjuk. A a kezdőpont, B a végpont. Ha egy v vektor koordinátái v₁ és v₂, akkor a vektor hossza a megfelelő összefüggésből számolható.

Felírtuk két vektor összegének, különbségének koordinátáit, vektor számszorosának és vektor ellentettjének koordinátáit, és a 90°-os elforgatott vektor koordinátáit is.

Mit jelent a vektorok skaláris szorzata, és hogyan számolható ki a koordináták segítségével?

Definíció: Tetszőleges két vektor skaláris szorzata a két vektor abszolút értékének és hajlásszögük koszinuszának szorzata.

A skaláris szorzat kommutatív és disztributív. Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha a két vektor merőleges egymásra.

Azt a tételt bizonyítjuk a videón, hogy két vektor skaláris szorzata a megfelelő koordináták szorzatának összege.

A tétel végén alkalmazásokról beszélünk, és matematika történeti vonatkozásokat említünk.