1. Halmazok, halmazműveletek...

1. tétel: Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben.

A halmaz és a halmaz eleme alapfogalom, nem definiáljuk.
Definiáljuk a természetes számok, az egész számok, racionális számok, fogalmát, az irracionális számok és valós számok halmazát.

Részhalmaz: Akkor mondjuk, hogy az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha az A minden eleme egyben eleme a B-nek is.
Ha egy halmaz egy másiknak részhalmaza, de nem egyenlő vele, akkor azt mondjuk, hogy valódi részhalmaza.
Két halmazról azt mondjuk, hogy diszjunktak, ha nincs közös elemük.

Halmazműveletek:

Az A halmaz komplementerébe azok az alaphalmazbeli elemek tartoznak, amelyek az A halmazban nincsenek benne.
Metszet: Két vagy több halmaz metszetébe azok az elemek tartoznak bele, amelyek mindegyik halmaznak elemei.
Unió: Halmazok uniója alatt az egyesítésüket értjük. Az A unió B halmazba minden olyan elem beletartozik, amely az A vagy a B halmazban benne van.
Különbség-halmaz: Az A-ból B halmaz elemei olyan elemek, amelyek A-ban benne vannak, de B-ben nem.

Halmazműveletek tulajdonságai:

A metszet és az unió művelete kommutatív tulajdonságú, ez az A és B felcserélhetőségét jelenti.
Asszociatív mindkét művelet, azaz csoportosítható, átzárójelezhető.
Mindkét művelet disztributív is a másikra nézve.

De-Morgan azonosságok: Két halmaz metszetének komplementere a komplementereik uniója, az uniójuk komplementere pedig a komplementerek metszete.

Halmazok elemszámához kapcsolódó tételek

A szita-formula alapján két halmaz uniójának elemszámát megkapjuk, ha a halmazok elemszámának összegéből kivonjuk a metszetük elemszámát.
Három halmaz uniójának elemszáma pedig kiszámítható, ha a halmazok elemszámának összegéből kivonjuk a kétszeres metszetek elemszámát, majd a háromszoros metszet elemszámát egyszer hozzáadjuk.
Tétel: Az n elemű halmaz összes részhalmazainak számáról

Nevezetes ponthalmazok síkban és térben:

A kör adott ponttól adott távolságban levő pontok halmaza a síkon. Ha a térben vesszük az ugyanilyen tulajdonságú pontokat, akkor azok egy gömbfelületet határoznak meg.
Két ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon nem más, mint a két pontot összekötő szakasz felezőmerőlegese.
Térben ezek a pontok egy olyan síkon helyezkednek el, amely merőleges a két pontot összekötő szakaszra és áthalad annak felezőpontján.
Két párhuzamos egyenestől a síkon egyenlő távolságra egy velük párhuzamos egyenes van, amely a két egyenes távolságát felezi.
Ha a két egyenes metszi egymást, akkor a tőlük egyenlő távolságra levő pontok halmaza a két egyenes által meghatározott szögtartományok szögfelezői lesznek. Ezek merőlegesek egymásra.

Egy egyenestől és egy ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon egy parabolaív lesz.
Az ellipszis azon pontok mértani helye a síkon, amelyeknek két adott ponttól vett távolság-összege állandó.
A hiperbola azon pontok mértani helye a síkon, amelyeknek két adott ponttól vett távolság-különbsége állandó.