Egyenes normálvektora
A síkban egy egyenes normálvektora bármely, az egyenesre merőleges vektor, ami nem nullvektor. Jelölés: n e
Ha n normálvektora egy egyenesnek, akkor bármely nullától különböző λ valós szám esetén λ · n vektor is normálvektora az egyenesnek.
Ha egy egyenesnek irányvektora a v (v1 ; v2), akkor az egyenesnek normálvektorai az n2 (v2 ; -v1) és a n2 (-v2 ; v1) vektorok.
Példák a normálvektor alkalmazásával
1. feladat: Írjuk fel a (-2 ; 7) ponton átmenő, n (5 ; 8) normálvektorú egyenes egyenletét!
Megoldás: Az egyenes egyenletének normálvektoros alakja: A · x + B · y = A · x0 + B · y0
Ebben az egyenletben A és B a normálvektor koordinátái, x0 és y0 pedig az egyenes adott pontjának a koordinátái. Behelyettesítés után az egyenlet:
5 · x + 8 · y = 5 · (-2) + 8 · 7
5x + 8y = 46
2. feladat: Adott egy szakasz két végpontja: A (0; 4) és B (2;3) . Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!
Megoldás: A felező merőleges egyenes egyenlete érdekel minket. Ehhez kell egy normálvektor és egy pont.
Mivel AB merőleges a felezőmerőlegesre, ezért jó lesz normálvektornak. Kiszámoljuk tehát az AB vektor koordinátáit, úgy, hogy a végpont (B) koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont (A) koordinátáit: AB (2 - 0 ; 3 - 4) → AB (2 ; -1).
Az egyenes egy pontja pedig az AB szakasz felezőpontja lesz, ezt A és B koordinátáiból könnyen ki tudjuk számolni:
Összeadtuk külön az x és y koordinátákat, és az összegeket megfeleztük. Most be tudunk helyettesíteni a normálvektoros egyenletbe.
A · x + B · y = A · x0 + B · y0
2 · x + (-1) · y = 2 · 1 + (-1) · 3,5
2x - y = -1,5
Tehát az oldalfelező merőleges egyenes egyenlete: 2x - y = -1,5
