Egyenes normálvektora

A síkban egy egyenes normálvektora bármely, az egyenesre merőleges vektor, ami nem nullvektor. Jelölés: n e

egyenes normálvektora, egyenes normálvektorai

Ha n normálvektora egy egyenesnek, akkor bármely nullától különböző λ valós szám esetén λ · n vektor is normálvektora az egyenesnek.

Ha egy egyenesnek irányvektora a v (v1 ; v2), akkor az egyenesnek normálvektorai az n2 (v2 ; -v1) és a n2 (-v2 ; v1) vektorok.

Példák a normálvektor alkalmazásával

1. feladat: Írjuk fel a (-2 ; 7) ponton átmenő, n (5 ; 8) normálvektorú egyenes egyenletét!

Megoldás: Az egyenes egyenletének normálvektoros alakja: A · x + B · y = A · x0 + B · y0

egyenes normálvektoros egyenlete

Ebben az egyenletben A és B a normálvektor koordinátái, x0 és y0 pedig az egyenes adott pontjának a koordinátái. Behelyettesítés után az egyenlet:

5 · x + 8 · y = 5 · (-2) + 8 · 7

5x + 8y = 46

2. feladat: Adott egy szakasz két végpontja: A (0; 4) és B (2;3) . Írja fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét!

Megoldás: A felező merőleges egyenes egyenlete érdekel minket. Ehhez kell egy normálvektor és egy pont.

Mivel AB merőleges a felezőmerőlegesre, ezért jó lesz normálvektornak. Kiszámoljuk tehát az AB vektor koordinátáit, úgy, hogy a végpont (B) koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont (A) koordinátáit: AB (2 - 0 ; 3 - 4) → AB (2 ; -1).

Az egyenes egy pontja pedig az AB szakasz felezőpontja lesz, ezt A és B koordinátáiból könnyen ki tudjuk számolni:

F subscript A B end subscript equals open parentheses fraction numerator 0 plus 2 over denominator 2 end fraction semicolon fraction numerator 4 plus 3 over denominator 2 end fraction close parentheses equals open parentheses 1 space semicolon space 3 comma 5 close parentheses  Összeadtuk külön az x és y koordinátákat, és az összegeket megfeleztük. Most be tudunk helyettesíteni a normálvektoros egyenletbe.

A · x + B · y = A · x0 + B · y0

2 · x + (-1) · y = 2 · 1 + (-1) · 3,5

2x - y = -1,5

Tehát az oldalfelező merőleges egyenes egyenlete: 2x - y = -1,5

A következő Matek Oázis videókkal tanulhatsz a normálvektorról és az egyenes normálvektoros egyenletéről

Egyenes egyenlete
Egyenes egyenlete - gyakorlás