n-edik gyök

Gyakoroljuk a gyökös és törtkitevős hatványok átalakítását. Alkalmazd a hatványozás és a gyökvonás azonosságait és hozd egyszerűbb alakra a kifejezéseket!

5. tétel : Hatványozás és a hatványfogalom kiterjesztése, a hatványozás azonosságai. Az n-edik gyök fogalma. A négyzetgyök azonosságai. Hatványfüggvények és a négyzetgyökfüggvény. A tétel kifejtésében először a pozitív egész kitevős hatványozásról, a művelet azonosságairól szeretnék beszélni, majd a hatványozás kiterjesztéséről először negatív egészekre, végül a valós számokra. Majd a hatványozás műveletének inverzéről, a gyökvonásról beszélek, a négyzetgyök azonosságairól, hatványfüggvényekről és négyzetgyökfüggvényről, végül ezek jellemző tulajdonságairól. Mi a hatványozás, hogyan értelmezzük pozitív egész számokra? A hatványozás két szám között értelmezett matematikai művelet. Jelölése Amennyiben az a pozitív egész szám, az an pontosan n db azonos, a-val jelölt szám szorzata. n = 1 esetén nem beszélhetünk szorzatról, definíció szerint minden szám első hatványa önmaga. A hatványozás azonosságai. Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk össze, hogy az alap változatlan, ezt a kitevők összegére kell emelni. Azonos alapú hatványok hányadosa is velük azonos alapú hatvány lesz, a kitevőt pedig úgy kapjuk, hogy a számláló kitevőjééből kivonjuk a nevező kitevőjét. Ezek az azonosságok könynen igazolhatók a definíció alapján, a videón megmutatjuk, hogyan. A következő azonosság is hasonlóan bizonyítható, hatvány hatványozásakor a kitevők összeszorzódnak. Különböző alapú, de azonos kitevőjű hatványokkal is végezhetünk műveleteket. Ha összeszorozzuk őket, akkor megtehetjük, hogy először az alapokat összeszorozzuk, és csak utána hatványozzuk a szorzatot. Ez egyben azt is jelenti visszafelé, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ugyanígy a törtek esetében is a tört hatványa nem más, mint a számláló és a nevező megfelelő hatványának hányadosa. Mit jelent a negatív egész kitevőjű hatvány? A permanencia-elv alapján amennyiben nem a nullát hatványozzuk, bármely szám nulladik hatványát 1-nek definiáljuk. A negatív kitevőt is tudjuk értelmezni, tetszőleges nem nulla valós alap és n pozitív kitevő esetén az lesz. Hogyan értelmezzük, amikor racionális és irracionális szám van a hatvány kitevőjében? Egy a pozitív szám n/m-edik hatványa alatt azt a valós számot értjük, amelyet m. hatványra emelve az a n. hatványát kapjuk. Irracionális kitevőjű hatványt pedig azonos alapú, de racionális kitevős hatványok sorozatának határértékeként fogjuk fel. Igazolhatjuk, hogy az irracionális kitevős hatvány, mint határérték létezik, az azonosságok ugyanúgy érvényben maradnak. A gyökvonás műveletének definíciója. A gyökvonás a megfelelő értelmezési tartomány mellett a hatványozás inverz művelete. Egy nem negatív valós szám 2k-adik, azaz páros gyöke alatt azt a nemnegatív valós számot értjük, amelyet 2k-adik hatványra emelve az a nem negatív valós számot kapjuk vissza. A 2k+1-edik gyök műveletét valós számokon tudjuk végezni, 2k+1-edik gyöke egy valós számnak az a szám lesz, amelyet 2k+1. hatványra emelve az a számot kapjuk vissza. Fontos kapcsolat van a racionális törtkitevő és a gyökvonás között: n-edik gyök ( am) = an/m megfelelő értelmezési tartomány mellett, m pozitív egész szám. Racionális kitevő esetén nem értelmezzük, ha az alap negatív szám, hiszen akkor az m. gyök műveletének elvégzésénél problémák adódhatnának. A négyzetgyök és a köbgyök a két leggyakrabban alkalmazott művelet. A az a nemnegatív valós szám, amelyet önmagával megszorozva az a számot kapjuk vissza. A gyökvonás és a hatványozás művelete felcserélhető, ugyanez a helyzet akkor, ha negatív számról és páratlan gyökről van szó. Viszont ha a valós számok halmazán először emelünk páros kitevőre, majd ugyanennyiedik gyököt is vonunk, akkor a szám abszolútértékét kapjuk meg, nem negatív számok esetén magát a számot, negatív számok esetén pedig az ellentettjüket. A gyökvonás azonosságait ismertetjük. Az a és b nem negatív valós számok. Szorzatuk négyzetgyöke egyenlő a tényezők négyzetgyökének szorzatával. A tétel bizonyítását a videón részletezzük. További azonosságok: a nem negatív és pozitív valós számok estén a hányadosuk négyzetgyöke egyenlő a négyzetgyökeik hányadosával. Nem negatív alap esetén a hatványozás és a négyzetgyökvonás felcserélhető művelet, természetesen a 0 a nulladikon nincs értelmezve. A hatványfüggvényeket, és a tulajdonságaikat nézzük végig. Hatványfüggvénynek nevezzük azt a függvényt, melynek értelmezési tartománya a valós számok halmaza, a függvény x-hez az x n-edik hatványát rendeli hozzá, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. Páros n-ek esetén a függvények grafikonja parabola alakú, egyre nagyobb hatvány esetén a parabola egyre szűkebb. Páratlan n-ek esetén pedig egy ilyen szép ívelt görbét kapunk, mivel negatív x-ek esetén a páratlan hatvány negatív lesz. A függvények jellemzésére is kitérünk, értékkészlet, páros/páratlan tulajdonság, monotonitás, szélsőérték, korlátosság, folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság szempontjai alapján. Megnézzük azt is, hogyan változnak transzformált függvények esetén a függvény tulajdonságai. Mit kell tudni a négyzetgyökfüggvényről és tulajdonságairól? A négyzetgyökfüggvény a nemnegatív valós számok halmazáról képez le valós számokhalmazára, x-hez annak négyzetgyökét rendeli. Grafikonja egy fél fektetett parabola. A nemnegatív számok halmazán ez a függvény az függvény inverze. Értelmelmezési tartománya és értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. További szempontok a függvényjellemzéshez: monotonitás, szélsőérték, korlátosság, folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság. A hatványozás és a gyökvonás rengeteg helyen kap szerepet a feladatok megoldásában. Egyenletekben, geometriában, térgeometriában, Hasonlósági feladatok, egyéb geometriai számítások esetén gyakran kell hatványozni vagy gyököt vonni. Ugyanakkor a kamatos kamat számításnál, mértani sorozatoknál, számrendszerek, vagy akár a mértékváltás esetén is fontos.

A mostani matekvideóban először is az n-edik gyök fogalmát ismételjük át, példákkal, foglalkozunk a páros és páratlan gyök közötti különbségekkel. Aztán megnézzük, mit jelent az, ha a hatvány kitevőjében egy törtszám áll. Majd megmutatjuk, hogy így egyesítve a gyökvonást a hatványozással, mennyivel könnyebb a törtkitevőkkel műveleteket végezni.

Gyakoroljuk a törtkitevős hatványokkal kapcsolatos feladatokat.

A gyökvonás nemcsak négyzetgyököt jelenthet. Megvizsgáljuk, mit is jelent a 3., 4., stb. gyök, hogyan lehet számolni vele. Mi történik páros és páratlan n szám esetén, megnézzük, milyen feltételeknek kell megfelelni.

Az n-dik gyökvonás azonosságaival is foglalkozunk. Hozzuk közös gyökjel alá! A gyökök kitevőit is össze lehet szorozni, mint a hatványkitevőket.