Függvény szélsőértéke

A mostani matekvideó a számtani és mértani közép, és az ezek közötti egyenlőtlenség szépségeibe vezet be. Definiáljuk, mi is ez a két középérték két illetve több szám esetén, és megnézzük, mi minden következik abból, hogy a számtani közép mindig nagyobb (vagy egyenlő), mint a mértani közép. Gyakorolhatod, hogy milyen szélsőérték-feladatokat lehet megoldani ennek segítségével.

Ezen a matematikai oktatóvideón a fontosabb függvénytípusokat vesszük sorra: lineáris függvények, másodfokú függvények, hatványfüggvények, abszolútérték-függvény, négyzetgyökfüggvény, és a törtfüggvények. Hogyan kell ábrázolni ezeket a függvényeket? Mi jellemzi őket szélsőérték, monotonitás, zérushely szempontjából, páros vagy páratlan-e a függvény.

A mostani matekvideóban ismét egy matekérettségi feladatsor megoldásait nézzük végig, pontosabban egy feladatsor I.részének, tehát 12 alapfeladatnak a részletes kidolgozását. A feladatsor egy tört egyszerűsítésével kezdődött, aztán egy mértani sorozatos példa jött, majd a háromszög-egyenlőtlenséggel kapcsolatban 2 állítás. Egy egyszerű szöveges példát is tettek a feladatok közé. Három(!) függvényes feladat volt a 12 példa között: egy másodfokú függvény szélsőértékét kellett meghatározni, egy grafikonjával adott függvénynél megadni, hogy hol nő illetve hol csökken a függvény, majd egy függvényértékből kellett visszaszámolni, hogy azt az értéket milyen x-nél veszi fel a függvény (vagyis tulajdonképpen egy egyenletet kellett megoldani). Volt még szinusz-tétel, módusz és medián-számítás, logaritmus és valószínűségszámítás is.

A mostani matekvideó a számtani és mértani közép, és az ezek közötti egyenlőtlenség szépségeibe vezet be. Definiáljuk, mi is ez a két középérték két illetve több szám esetén, és megnézzük, mi minden következik abból, hogy a számtani közép mindig nagyobb (vagy egyenlő), mint a mértani közép. Gyakorolhatod, hogy milyen szélsőérték-feladatokat lehet megoldani ennek segítségével.

Ez a matematikai oktatóvideó az egyszerűbb szélsőérték-feladatok megoldását mutatja be. Azt, hogy hogyan lehet a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget és a másodfokú függvények tulajdonságait felhasználni arra, hogy bizonyos mennyiségek minimális illetve maximális értékét meghatározzuk.

Megtanuljuk, hogyan tudjuk felhasználni a differenciálszámítást a függvényvizsgálatnál: Mit árul el a derivált? Monoton növekvő vagy éppen csökkenő-e a függvény? Mely pontokban van a függvénynek lokális szélsőértéke? Konvex vagy konkáv a függvény? Mit nevezünk inflexiós pontnak?

TESZT! Tedd próbára tudásod a számtani és mértani középről és szélsőértékről tanultak terén! Hét érdekes feladat vár. Oldd meg őket önállóan! Kiértékelés után levezetjük a helyes megoldást lépésről lépésre.

5. tétel : Hatványozás és a hatványfogalom kiterjesztése, a hatványozás azonosságai. Az n-edik gyök fogalma. A négyzetgyök azonosságai. Hatványfüggvények és a négyzetgyökfüggvény. A tétel kifejtésében először a pozitív egész kitevős hatványozásról, a művelet azonosságairól szeretnék beszélni, majd a hatványozás kiterjesztéséről először negatív egészekre, végül a valós számokra. Majd a hatványozás műveletének inverzéről, a gyökvonásról beszélek, a négyzetgyök azonosságairól, hatványfüggvényekről és négyzetgyökfüggvényről, végül ezek jellemző tulajdonságairól. Mi a hatványozás, hogyan értelmezzük pozitív egész számokra? A hatványozás két szám között értelmezett matematikai művelet. Jelölése Amennyiben az a pozitív egész szám, az an pontosan n db azonos, a-val jelölt szám szorzata. n = 1 esetén nem beszélhetünk szorzatról, definíció szerint minden szám első hatványa önmaga. A hatványozás azonosságai. Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk össze, hogy az alap változatlan, ezt a kitevők összegére kell emelni. Azonos alapú hatványok hányadosa is velük azonos alapú hatvány lesz, a kitevőt pedig úgy kapjuk, hogy a számláló kitevőjééből kivonjuk a nevező kitevőjét. Ezek az azonosságok könynen igazolhatók a definíció alapján, a videón megmutatjuk, hogyan. A következő azonosság is hasonlóan bizonyítható, hatvány hatványozásakor a kitevők összeszorzódnak. Különböző alapú, de azonos kitevőjű hatványokkal is végezhetünk műveleteket. Ha összeszorozzuk őket, akkor megtehetjük, hogy először az alapokat összeszorozzuk, és csak utána hatványozzuk a szorzatot. Ez egyben azt is jelenti visszafelé, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ugyanígy a törtek esetében is a tört hatványa nem más, mint a számláló és a nevező megfelelő hatványának hányadosa. Mit jelent a negatív egész kitevőjű hatvány? A permanencia-elv alapján amennyiben nem a nullát hatványozzuk, bármely szám nulladik hatványát 1-nek definiáljuk. A negatív kitevőt is tudjuk értelmezni, tetszőleges nem nulla valós alap és n pozitív kitevő esetén az lesz. Hogyan értelmezzük, amikor racionális és irracionális szám van a hatvány kitevőjében? Egy a pozitív szám n/m-edik hatványa alatt azt a valós számot értjük, amelyet m. hatványra emelve az a n. hatványát kapjuk. Irracionális kitevőjű hatványt pedig azonos alapú, de racionális kitevős hatványok sorozatának határértékeként fogjuk fel. Igazolhatjuk, hogy az irracionális kitevős hatvány, mint határérték létezik, az azonosságok ugyanúgy érvényben maradnak. A gyökvonás műveletének definíciója. A gyökvonás a megfelelő értelmezési tartomány mellett a hatványozás inverz művelete. Egy nem negatív valós szám 2k-adik, azaz páros gyöke alatt azt a nemnegatív valós számot értjük, amelyet 2k-adik hatványra emelve az a nem negatív valós számot kapjuk vissza. A 2k+1-edik gyök műveletét valós számokon tudjuk végezni, 2k+1-edik gyöke egy valós számnak az a szám lesz, amelyet 2k+1. hatványra emelve az a számot kapjuk vissza. Fontos kapcsolat van a racionális törtkitevő és a gyökvonás között: n-edik gyök ( am) = an/m megfelelő értelmezési tartomány mellett, m pozitív egész szám. Racionális kitevő esetén nem értelmezzük, ha az alap negatív szám, hiszen akkor az m. gyök műveletének elvégzésénél problémák adódhatnának. A négyzetgyök és a köbgyök a két leggyakrabban alkalmazott művelet. A az a nemnegatív valós szám, amelyet önmagával megszorozva az a számot kapjuk vissza. A gyökvonás és a hatványozás művelete felcserélhető, ugyanez a helyzet akkor, ha negatív számról és páratlan gyökről van szó. Viszont ha a valós számok halmazán először emelünk páros kitevőre, majd ugyanennyiedik gyököt is vonunk, akkor a szám abszolútértékét kapjuk meg, nem negatív számok esetén magát a számot, negatív számok esetén pedig az ellentettjüket. A gyökvonás azonosságait ismertetjük. Az a és b nem negatív valós számok. Szorzatuk négyzetgyöke egyenlő a tényezők négyzetgyökének szorzatával. A tétel bizonyítását a videón részletezzük. További azonosságok: a nem negatív és pozitív valós számok estén a hányadosuk négyzetgyöke egyenlő a négyzetgyökeik hányadosával. Nem negatív alap esetén a hatványozás és a négyzetgyökvonás felcserélhető művelet, természetesen a 0 a nulladikon nincs értelmezve. A hatványfüggvényeket, és a tulajdonságaikat nézzük végig. Hatványfüggvénynek nevezzük azt a függvényt, melynek értelmezési tartománya a valós számok halmaza, a függvény x-hez az x n-edik hatványát rendeli hozzá, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. Páros n-ek esetén a függvények grafikonja parabola alakú, egyre nagyobb hatvány esetén a parabola egyre szűkebb. Páratlan n-ek esetén pedig egy ilyen szép ívelt görbét kapunk, mivel negatív x-ek esetén a páratlan hatvány negatív lesz. A függvények jellemzésére is kitérünk, értékkészlet, páros/páratlan tulajdonság, monotonitás, szélsőérték, korlátosság, folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság szempontjai alapján. Megnézzük azt is, hogyan változnak transzformált függvények esetén a függvény tulajdonságai. Mit kell tudni a négyzetgyökfüggvényről és tulajdonságairól? A négyzetgyökfüggvény a nemnegatív valós számok halmazáról képez le valós számokhalmazára, x-hez annak négyzetgyökét rendeli. Grafikonja egy fél fektetett parabola. A nemnegatív számok halmazán ez a függvény az függvény inverze. Értelmelmezési tartománya és értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. További szempontok a függvényjellemzéshez: monotonitás, szélsőérték, korlátosság, folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság. A hatványozás és a gyökvonás rengeteg helyen kap szerepet a feladatok megoldásában. Egyenletekben, geometriában, térgeometriában, Hasonlósági feladatok, egyéb geometriai számítások esetén gyakran kell hatványozni vagy gyököt vonni. Ugyanakkor a kamatos kamat számításnál, mértani sorozatoknál, számrendszerek, vagy akár a mértékváltás esetén is fontos.

6. tétel: A logaritmus fogalma és azonosságai. Az exponenciális és a logaritmusfüggvény. Az inverzfüggvény. A logaritmus fogalmát definiáljuk, majd a logaritmus műveletének azonosságairól, az exponenciális a és a logaritmusfüggvényről fogunk beszélni, végül a függvények inverzéről, azok képzéséről. A logaritmus definíciója, tulajdonságai. logab az a valós szám, amelyre az a-t emelve b -t kapjuk. a,b > 0, és a nem 1 (Részletesen indokoljuk, hogy miért kellenek ezek a kikötések) Másképpen úgy is mondhatjuk, hogy az logab = c és az ac = b ekvivalens állítások. A 10-es alapú logaritmust lg-vel, a természetes, vagyis e alapú logaritmust ln-nel jelöljük. Melyek a logaritmus azonosságai? A logaritmus műveletének azonosságai közül az első a szorzat logaritmusára vonatkozik: Szorzat logaritmusa a tényezők logaritmusának összege, visszafelé úgy is mondhatjuk, hogy azonos alapú logaritmusokat úgy adunk össze, hogy az argumendumokat összeszorozzuk. A tételt bizonyítjuk is a videón. További logaritmus azonosságok:. Hányados logaritmusa a számláló és a nevező logaritmusának különbsége. Ha pedig egy hatványnak vesszük a logaritmusát, akkor az nem más, mint az alap logaritmusának és a kitevőnek a szorzata. Ilyenkor a kitevőt, mint szorzótényezőt a logaritmus elé írjuk. Egy logaritmusos kifejezést más alapra is átírhatunk, az ismert összefüggés alapján. Ezt az azonosságot is bebizonyítjuk. Mit kell elmondani az exponenciális függvényekről? Exponenciális függvénynek nevezzük azt a valós számok halmazáról leképező függvényt, amely az x-hez az ax -et rendeli, ahol az a egy pozitív valós szám. Ha a függvény grafikonját szeretnénk megrajzolni, akkor két esetet kell megkülönböztetnünk az alaptól függően: Ha az alap 0 és 1 közötti, akkor az ax grafikonja szigorúan monoton csökken, ha pedig 1-nél nagyobb, akkor szigorúan monoton nő. Amennyiben az alap 1, a konstans 1 függvényről van szó. Mindkét esetben az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, az értékkészlet pedig a pozitív valós számok halmaza. Közös tulajdonsága az ax típusú exponenciális függvényeknek, hogy grafikonjuk áthalad a ( 0; 1) ponton, hiszen bármely pozitív szám nulladik hatványa 1. Szélsőértékük nincs, felülről nem korlátosak, tehát nem korlátosak. Konvex függvények, zérushelyük nincs. Nem párosak és nem is páratlanok. Ezek a függvények a folytonosság miatt differenciálhatók és integrálhatók is. A logaritmus függvényeknek mi a közük az exponenciális függvényekhez? A logaritmus függvény a megfelelő exponenciális függvény inverze, a pozitív valós számok halmazáról képez le a valós számok halmazára, x-hez annak a alapú logaritmusát rendeli. Ha a logaritmus alapja 1-nél nagyobb szám, akkor a függvény szigorúan monoton nő, ha 0 és 1 közötti szám, akkor szigorúan monoton csökken. Negatív alapot és 1-es alapot nem értelmezünk logaritmus esetén. Értelmezési tartomány a pozitív számok halmaza, értékkészlete a valós számok halmaza. Zérushelyük van x=1-nél. Szélsőértékük nincs, sem alulról, sem felülről nem korlátosak. Ha az alap 1-nél nagyobb, a függvény konkáv, ha 0 és 1 közötti, akkor konvex. Nem párosak és nem is páratlanok. A függvények a folytonosság miatt differenciálhatók és integrálhatók is. Mit jelent az inverz függvény? Az f függvény inverze az f -1 ha az f értelmezési tartományának minden x elemére igaz, hogy f(x) eleme a f -1 értelmezési tartományának és f -1 (f(x)) = x. Ha az f és az f -1 függvények egymásnak inverzei, akkor az f értelmezési tartománya az f -1 értékkészlete, az f értékkészlete azf -1 értelmezési tartománya. Az f és az f -1 akkor grafikonjai tengelyesen tükrösek az y = x egyenletű egyenesre nézve. Megnézünk néhány példát az inverz függvényre a videón. Például inverze egymásnak a négyzetgyök függvény és az x2 függvény a megfelelő értelmezési tartomány mellett, vagy az f(x) = 3x és az 1/3 x is. Algebrai úton általában könnyen megkaphatjuk egy függvény inverzének hozzárendelési szabályát. Kitérünk még arra is, hogy az exponenciális és logaritmusos kifejezésekkel hol találkozhatunk, illetve az exponenciális, logaritmusos egyenletek megoldása milyen hétköznapi, v. műszaki problémák megoldásánál fontos. Említünk matematikatörténeti vonatkozásokat is.

A differenciálhányados fogalma, deriválási szabályok. A differenciálszámítás alkalmazásai (érintő, függvényvizsgálat, szélsőértékfeladatok).

Meghatározzuk a függvény definícióját, az alaphalmazt és a képhalmazt.

Meghatározzuk a zérushelyet, a szélsőértéket, a maximum- és minimum helyet (értéket). Megrajzoljuk a függvény grafikonját. A függvények tulajdonságaival foglalkozunk, ez a függvényjellemzés. Mi az értékkészlete, az értelmezési tartománya a függvénynek, csökkenő vagy növekvő a függvény?

Ez a videó további függvényekkel kapcsolatos ismeretek gyakorlására szolgál. Négyzetgyök-függvény, törtfüggvény. A függvények jellemzését gyakorolhatod ezekkel a feladatokkal. Értelmezési tartomány és értékkészlet, zérushely, növekedés-fogyás (csökkenés), valamint a szélsőértékek (minimum és maximum), sőt: páros és páratlan függvény. Mindegyikkel tisztában vagy, mit jelent?

Az egészrész és törtrész-függvény ábrázolását, a függvények jellemzését gyakorolhatod ezekkel a feladatokkal. Értelmezési tartomány és értékkészlet, zérushely, növekedés-fogyás (csökkenés), valamint a szélsőértékek (minimum és maximum), sőt: páros és páratlan függvény. Mindegyikkel tisztában vagy, mit jelent?

További szélsőérték feladatokat oldunk meg, ahol a legkisebb és a legnagyobb értéket kell meghatározni, hogy még jobban begyakorolhasd a számtani és mértani középről szóló tudnivalókat.

Még néhány szélsőérték feladatokat oldunk meg, ahol a legkisebb és a legnagyobb értéket kell meghatározni, hogy még jobban begyakorolhasd a számtani és mértani középről szóló tudnivalókat.