Elsőfokú egyenletek megoldása

TESZT! Tedd próbára tudásod az egyenletek terén! Gyakorlófeladatok találsz egyenletek megoldására: Oldd meg az egyenletet a negatív számok (racionális számok, nemnegatív számok, valós számok) halmazán! Keresd meg az egyenlet racionális megoldásait!

Ebben a modulban az a célunk, hogy az egyenletek megoldásában minél profibbá válj. Ehhez pedig elengedhetetlen, hogy a betűs kifejezésekkel is jól tudjál bánni, így e modulban átismételjük, amit a matematikában a betűs kifejezésekről tudni kell.

A mostani matekvideóban gyakorolhatod az egyenletek megoldását a mérlegelv segítségével. Ezek között már nehezebb egyenletek is vannak, és alkalmaznod kell mindazt, amit a nevezetes azonosságokról és az algebrai törtek átalakításairól megtanultál. Tarts velünk, hogy az egyenletrendezésben megfelelő jártasságot szerezhess!

Megmutatjuk, hogyan lehet az algebrai úton bonyolultan, nehézkesen megoldható egyenleteket, egyenlőtlenségeket grafikusan (függvényábrázolással) megoldani. Az egyenlet mindkét oldala egy függvény lesz. Gyakorló feladatokat is találsz a videón.

TESZT! Hét feladattal gyakorolhatod az egyenletek algebrai, grafikus vagy más módszerrel történő megoldását. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Ha már jól megy az egyenletek megoldása, nem lesz nehéz az egyenlőtlenségek megoldása sem. Elsőfokú egyenlőtlenségeknél jól alkalmazható a mérlegelv.

TESZT! Hét feladattal gyakorolhatod az elsőfokú abszolútértékes egyenletek algebrai megoldását. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Oszthatósági feladat; Műveletvégzés halmazokkal; Algebrai egyenletek megoldása; Függvényábrázolás és jellemzés; Egyenletlevezetés; Szöveges feladat; Geometria: deltoid területe, oldala, körcikk területe, középponti szög

Másodfokú egyenletre visszavezethető magasabbfokú egyenletek megoldását keressük. Segítségünkre lesz egy új ismeretlen bevezetése. Figyelj, hogy el ne feledkezz az ellenőrzésről! Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

Ebben a videóban különböző trigonometrikus egyenletek megoldását gyakorolhatod. Bemutatjuk azokat a típusfeladatokat, amik középszinten jellemzőek, illetve igyekszünk támpontokat adni az ilyen egyenletek megoldásához. A feladatok megoldásánál feltételezzük, hogy az alapegyenletekkel (sin x = a; cos x = a; tg x; ctg x = a típusú feladatok általános megoldásával) már tisztában vagy.

Trigonometrikus egyenletek megoldását gyakorolhatod velünk további tíz feladat megoldásával. A szinusz, koszinusz, tangens, kotangens szögfüggvények összefüggéseit alkalmazva megmutatjuk a típusfeladatokat és a megoldásuk mesterfogásait.

Az egyenletek után a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásával is foglalkozunk. Tisztázzuk a tudnivalókat a nevezetes szögekről, meghatározzuk a tartományt, a periódust, amiben számolunk. Szinusz, koszinusz, tangens, kotangens szögfüggvényekkel is dolgozunk. Feladatokat oldunk meg a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának gyakorlására.

Az előző videó feladatinak megoldását találod itt. Koordinátageometriai feladatok (szinusz-, koszinusz - tétel, egyenes egyenlete), exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek megoldása vár. Ellenőrizheted magad, és el is magyarázzuk a helyes megoldást.

Az előző videó feladatainak megoldásait találod itt. Exponenciális függvény ábrázolása, exponenciális-, logaritmikus-, trigonometrikus egyenletek, paralelogramma oldalainak kiszámításának megoldása vár, valamint egy koordinátageometriai feladat: Kör és az érintő egyenlete.

Olyan egyenletek és egyenlőtlenségek megoldását nézzük meg ezen a videón, melyek algebrai úton (egyenletrendezéssel) nehezen oldhatók meg, viszont függvényként ábrázolva az egyenlet - egyenlőtlenség mindkét oldalát, a grafikonról leolvashatók a megoldások.

A másodfokú egyenletek megoldásánál a legfontosabb, hogy ismerd és alkalmazni tudd a másodfokú egyenlet megoldóképletét. A diszkrimináns ismerete segíthet a gyökök számának meghatározásában. Tudni kell a Viete-formulákat is, a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. Mindezeket megtanulhatod, és begyakorolhatod ezzel a videóval.

Ez a rövid videó a másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldásával foglalkozik. Vannak ugyanis a magasabb fokú egyenletek, a trigonometrikus egyenletek és az exponenciális egyenletek között is olyanok, amik másodfokú egyenlet megoldására vezethetők vissza. Hogyan lehet észrevenni az ilyeneket, illetve mit is kell pontosan csinálni velük - ezt gyakorolhatod be ezzel a videóval.

Ez a matematikai oktatóvideó az exponenciális egyenletek megoldását tanítja meg. Végignézzük a különböző típusfeladatokat, amikre középszinten számítani lehet, és sok gyakorló példát. Fontos, hogy csak akkor állj neki ennek a videónak, ha a hatványozás, gyökvonás alapjaival, azonosságaival tisztában vagy. (Ezeket az előző modul videóiban megtalálod)

Ezen a matekvideón megtanulhatsz mindent, ami az elsőfokú és a másodfokú egyenlőtlenségek megoldásához szükséges. Az elsőfokú egyenlőtlenség nem sokkal nehezebb, mint az egyenletek megoldása, hisz csak ara kell külön ügyelni, hogy ne szorozzunk vagy osszunk negatív számmal. A másodfokú egyenlőtlenség már egy kicsit bonyolultabb, ott a másodfokú függvényekre is szükségünk van. Nézd meg a részleteket a videón!

TESZT! Gyakorolhatod egyenletek, egyenlőtlenségek, törtes egyenletek megoldását mérlegelv alkalmazásával. Oldd meg a feladatokat önállóan. Kiértékelés után levezetjük a helyes megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Tedd próbára tudásod! Add meg a következő logaritmikus egyenletek megoldásait logaritmus azonosságok felhasználásával! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Tedd próbára tudásod! További feladatokat találsz ebben a videóban, melyekkel a trigonometrikus egyenletek megoldását gyakorolhatod. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Teszteld tudásod, gyakorold az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldását. Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Gyakorold be a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldását, mert ez az alapja a nehezebb feladatok megoldásának! Figyelj a periódusra, és arra, ha több megoldás is van! Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

JÁTÉK! Oldd meg az egyenleteket, és gyűjtsd be a terményt (a csillagokat)! Vizsgáld meg minden lépésben, hogy jó-e a levezetés, helyes-e az átalakítás.

2. tétel: Racionális és irracionális számok. Műveletek a racionális és irracionális számok halmazán. Közönséges törtek és tizedes törtek. Halmazok számossága. Tanuld meg a racionális és irracionális számok fogalmát, a műveletek tulajdonságait. Segítünk megtanulni, hogyan bizonyítsd be, hogy a gyök 2 irracionális szám, és mit kell elmondanod a tizedestörtekről, törtekről. Mik azok a racionális és irracionális számok? Racionális számoknak azokat a számokat nevezzük, amelyek felírhatók két egész számhányadosaként. Az irracionális számok azok a számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. A valós számok halmaza nem más, mint ennek a két diszjunkt halmaznak az uniója. A valós számok halmaza és a valós számegyenes pontjai közt kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létezik. Ha például a nulla pontnál egységnyi oldalhosszúságú négyzetet szerkesztünk a 0-tól 1-ig tartó szakasz fölé, akkor ennek a négyzetnek az átlója, ami gyök2 hosszúságú, kijelöli a számegyenesen négyzetgyök 2 helyét. Tétel: 2 négyzetgyöke irracionális szám. A tételt indirekt bizonyítási módszerrel bizonyítjuk. Műveletek a racionális és irracionális számok halmazán. A racionális számok halmaza zárt a négy alapműveletre nézve. Ez azt jelenti, hogy két racionális szám összege, különbsége, szorzata és hányadosa is racionális. Természetesen osztás esetén az osztó nem lehet nulla, a 0-val való osztást nem értelmezzük. Mivel a racionális számok esetén létezik közönséges tört alak, ezért elegendő ilyen alakra megnézni a műveleteket. Eredményként mindig racionális számot kapunk, hiszen a kapott tört számlálója is és nevezője is egész szám, mivel az egész számok halmaza is zárt a négy alapműveletre. Két közönséges törtet úgy szorzunk össze, hogy a számlálót a számlálóval, nevezőt pedig a nevezővel szorozzuk. A számláló és a nevező is egész szám lesz, tehát a szorzás eredményeként szintén racionális számot kapunk. Közönséges törttel pedig úgy osztunk, hogy a reciprokával szorzunk. Az előzőekhez hasonlóan most is racionális számot kapunk hányadosként. Milyen tulajdonságai vannak ezeknek a műveleteknek? Az összeadás és a szorzás művelete kommutatív, tehát összeadásnál a tagok, szorzás esetén a tényezők felcserélhetők. Ez a két művelet asszociatív is, tehát csoportosítva is elvégezhetjük őket. A szorzás művelete disztributív az összeadásra (és a kivonásra), tehát egy zárójeles összeg tagjait tagonként is beszorozhatjuk. Milyen tizedes törtek vannak? Melyek a racionális számok közülük? A véges tizedes törteket nagyon könnyű meghatározni két egész szám hányadosaként, hiszen az egészrészt és a törtrészt is fel tudjuk írni közönséges tört alakban. Természetesen így nem mindig kapjuk a legegyszerűbb alakot, azt akkor kapjuk meg, ha egyszerűsítünk a számláló és a nevező legnagyobb közös osztójával. A végtelen szakaszos tizedes törtek szintén átírhatók közönséges tört alakba. Ennek egyszerű, elemi módja is van, és végtelen mértani sorok összegképletének segítségével is meghatározható a közönséges tört alak. A végtelen nem szakaszos tizedes törtek irracionális számok. Vannak olyan irracionális számok, amelyeket kiemelt szerepük miatt betűvel is eljelöltek, ilyen például a vagy az . De irracionális szám az összes olyan egész számnak a négyzetgyöke is, amely nem négyzetszám. Az irracionális számok halmaza a 4 alapműveletre nézve nem zárt. Halmazok számossága. Végesnek mondjuk a halmazt, ha az elemszáma egy természetes számmal megadható. A racionális és az irracionális számok halmazának elemszáma nem adható meg egy természetes számmal, ezért ezek végtelen halmazok. A végtelen elemszámú halmazok esetében megkülönböztetünk megszámlálhatóan végtelen elemszámot és nem megszámlálhatóan végtelen elemszámot. Megszámlálhatóan végtelen az a halmaz, amelynek elemeit valamilyen módon sorba tudjuk rendezni. (Meg tudunk adni egy olyan eljárás, amelyet követve a sorba rendezésnél egyetlen elem sem maradna ki) A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen. A Cantor-féle átlós eljárással könnyen sorba rendezhetjük őket. Egy táblázat első sorában a számlálókat, első oszlopában pedig a nevezőket helyezzük el. Előállítjuk az összes lehetséges módon a közönséges törtet. Biztosan szerepelni fog a táblázatban minden közönséges tört, illetve az átlós bejárást követve a sorba rendezés is adódik. Az irracionális számok halmazának elemei nem sorba rendezhetők, nem megszámlálhatóan végtelen ez a halmaz. Az ilyen halmazt kontinuum számosságúnak nevezzük. Ilyen a valós számok halmaza is. A racionális számok és irracionális számok felhasználása. A racionális számok és irracionális számokat már Pitagorasz korában is használták. Említettem, hogy a valós számegyenesen geometriai ismereteket felhasználva ekkor már ismerték helyüket. Építészeti megoldásokban trigonometrikus alakban kifejezett irracionális számokkal is bőven találkozhatunk. De racionális és irracionális számokat kaphatunk másodfokú, trigonometrikus, exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásakor is. Irracionális számok nélkül, pontosan a pi nélkül a kör területéről és kerületéről, forgástestek térfogatáról sem tudnánk beszélni.

20. tétel: A kör és a parabola elemi úton és a koordinátasíkon. Kör és egyenes, parabola és egyenes kölcsönös helyzete. Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Megmutatjuk a teljes kidolgozott tételt, úgy, ahogyan a vizsgán pl. el lehet mondani. A videóban kék színnel írtuk azt, amit mindenképp javaslunk, hogy te is írd fel a táblára a vizsgán. Nézzük tehát a tételt. Feleletemben a kört és a parabolát mutatom be elemi úton és a koordináta síkon. Kitérek a kör és egyenes, valamint a parabola és egyenes kölcsönös helyzetére is. Végül másodfokú egyenletek grafikus megoldásáról fogok beszélni és kitérek néhány matematikatörténeti vonatkozásra is. A kör az elemi és a koordinátageomatriában. Definíció: A kör azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól egyenlő távolságra helyezkednek el. Az adott pontot a kör középpontjának, az adott távolságot pedig a kör sugarának hívjuk. A kört egyértelműen meghatározza a síkon a középpontja és a sugara. Kimondok egy körről szóló tételt: A K(u,v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x-u)2+(y-v)2=r2. A kör egyenlete kétismeretlenes másodfokú egyenlet, ami átírva x2+y2-2ux-2vy+u2+v2-r2=0 alakú. Ezt egyszerűbben jelölve úgy is leírhatjuk, hogy x2+y2+Ax+By+C=0 Az ilyen alakban felírt kétismeretlenes másodfokú egyenlet akkor köregyenlet, ha A2+B2-4C pozitív. Matematikatörténet: Descartes- i vonatkozásokat érdemes itt elmesélni. Mit kell tudni a paraboláról? Definíciója: A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott egyenesétől és egy adott, az egyenesre nem illeszkedő pontjától ugyanolyan távolságra vannak. Az adott egyenest a parabola vezéregyenesnek, az adott pontot a parabola fókuszpontjának hívjuk. A vezéregyenes és a fókuszpont távolságát paraméternek hívjuk, és p-vel jelöljük. Minden parabolának van tengelye, ez egy fókuszpontra illeszkedő egyenes, ami merőleges a vezéregyenesre. A parabola tengelyen lévő pontját tengelypontnak nevezzük. Ez éppen a fókuszpontot és a vezéregyenest összekötő szakasz felezőpontja. Ebben a pontban van a parabola csúcsa. Tétel: az F(0;p/2) fókuszpontú y=-p/2 vezéregyenesű parabola egyenlete: y =1/2p *x2. A tételt a videóban bizonyítjuk. Ha a tengelypont nem az origóban van, hanem egy tetszőleges T(u;v) pontban, akkor a parabola egyenlete y=1/2p*(x-u)2+v alakban írható fel. Ha a parabola ellenkező irányban nyílik, akkor az 1/2p tört elé egy mínusz jelet kell írni. Minden másodfokú függvény grafikonja az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola, és minden y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola valamelyik másodfokú függvény grafikonja. Alkalmazás pl. parabolaantenna. Elmondjuk a működésének lényegét. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. Most áttérnék a kör és egyenes kölcsönös helyzetének a tárgyalására. A síkban egy körnek és egy egyenesnek kettő, egy vagy nulla közös pontja lehet. A közös pontokat, azaz a metszéspontokat a kör és egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer segítségével adhatjuk meg. A helyzetük többféle lehet: lehet két közös metszéspont – ez egy szelőt határoz meg, ha egy közös pont van, akkor az egyenes érintője a körnek, ha nincs közös metszéspont, akkor az egyenes a körön kívül halad. Parabola és egyenes kölcsönös helyzete. Egy parabolának és egy egyenesnek is 2, 1 vagy 0 közös pontja lehet. Ebben az esetben is egy két egyenletből álló két ismeretlenes egyenletrendszert kell megoldani, hogy megkapjuk hány metszéspont van. Fontos kiemelni, hogy ha 1 metszéspont van, akkor nem feltétlenül érintője az egyenes a parabolának, mert ha az egyenes párhuzamos a parabola tengelyével, akkor ő egy átmetsző egyenes. A parabola érintője olyan egyenes, ami nem párhuzamos a parabola tengelyével, és egy metszéspontja van a parabolával. Ha tudjuk, hogy az egyenes az A(x0;y0) pontban érinti a parabolát, akkor meg tudjuk adni az érintő egyenes egyenletét deriválással. A deriváltfüggvényben az x=x0 helyen felvett helyettesítési érték adja meg az érintő meredekségét. A meredekség és az A pont ismeretében fel tudjuk írni az érintő iránytényezős egyenletét. Koordináta-geometria alkalmazható geometriai feladatok megoldásában. Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása. A grafikus megoldásnál azt használjuk fel, hogy a másodfokú kifejezések képe parabola. Akárcsak a másodfokú egyenletnél, az egyenlőtlenségnél is nullára rendezünk, majd a bal oldalon álló kifejezés által meghatározott függvényt ábrázoljuk. Az egyenlőtlenség megoldása a grafikonról leolvasható, a videón részletezzük, hogyan. Néhány fizikai alkalmazást említünk a végén a csillagászat, a tükrök, mozgáspályák, építészet (statika) területéről. A tétel megtanulását is segítjük, hogy a szakzsargon ne okozzon gondot, könnyebben memorizálni tudd a definíciókat, tételeket.

6. tétel: A logaritmus fogalma és azonosságai. Az exponenciális és a logaritmusfüggvény. Az inverzfüggvény. A logaritmus fogalmát definiáljuk, majd a logaritmus műveletének azonosságairól, az exponenciális a és a logaritmusfüggvényről fogunk beszélni, végül a függvények inverzéről, azok képzéséről. A logaritmus definíciója, tulajdonságai. logab az a valós szám, amelyre az a-t emelve b -t kapjuk. a,b > 0, és a nem 1 (Részletesen indokoljuk, hogy miért kellenek ezek a kikötések) Másképpen úgy is mondhatjuk, hogy az logab = c és az ac = b ekvivalens állítások. A 10-es alapú logaritmust lg-vel, a természetes, vagyis e alapú logaritmust ln-nel jelöljük. Melyek a logaritmus azonosságai? A logaritmus műveletének azonosságai közül az első a szorzat logaritmusára vonatkozik: Szorzat logaritmusa a tényezők logaritmusának összege, visszafelé úgy is mondhatjuk, hogy azonos alapú logaritmusokat úgy adunk össze, hogy az argumendumokat összeszorozzuk. A tételt bizonyítjuk is a videón. További logaritmus azonosságok:. Hányados logaritmusa a számláló és a nevező logaritmusának különbsége. Ha pedig egy hatványnak vesszük a logaritmusát, akkor az nem más, mint az alap logaritmusának és a kitevőnek a szorzata. Ilyenkor a kitevőt, mint szorzótényezőt a logaritmus elé írjuk. Egy logaritmusos kifejezést más alapra is átírhatunk, az ismert összefüggés alapján. Ezt az azonosságot is bebizonyítjuk. Mit kell elmondani az exponenciális függvényekről? Exponenciális függvénynek nevezzük azt a valós számok halmazáról leképező függvényt, amely az x-hez az ax -et rendeli, ahol az a egy pozitív valós szám. Ha a függvény grafikonját szeretnénk megrajzolni, akkor két esetet kell megkülönböztetnünk az alaptól függően: Ha az alap 0 és 1 közötti, akkor az ax grafikonja szigorúan monoton csökken, ha pedig 1-nél nagyobb, akkor szigorúan monoton nő. Amennyiben az alap 1, a konstans 1 függvényről van szó. Mindkét esetben az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, az értékkészlet pedig a pozitív valós számok halmaza. Közös tulajdonsága az ax típusú exponenciális függvényeknek, hogy grafikonjuk áthalad a ( 0; 1) ponton, hiszen bármely pozitív szám nulladik hatványa 1. Szélsőértékük nincs, felülről nem korlátosak, tehát nem korlátosak. Konvex függvények, zérushelyük nincs. Nem párosak és nem is páratlanok. Ezek a függvények a folytonosság miatt differenciálhatók és integrálhatók is. A logaritmus függvényeknek mi a közük az exponenciális függvényekhez? A logaritmus függvény a megfelelő exponenciális függvény inverze, a pozitív valós számok halmazáról képez le a valós számok halmazára, x-hez annak a alapú logaritmusát rendeli. Ha a logaritmus alapja 1-nél nagyobb szám, akkor a függvény szigorúan monoton nő, ha 0 és 1 közötti szám, akkor szigorúan monoton csökken. Negatív alapot és 1-es alapot nem értelmezünk logaritmus esetén. Értelmezési tartomány a pozitív számok halmaza, értékkészlete a valós számok halmaza. Zérushelyük van x=1-nél. Szélsőértékük nincs, sem alulról, sem felülről nem korlátosak. Ha az alap 1-nél nagyobb, a függvény konkáv, ha 0 és 1 közötti, akkor konvex. Nem párosak és nem is páratlanok. A függvények a folytonosság miatt differenciálhatók és integrálhatók is. Mit jelent az inverz függvény? Az f függvény inverze az f -1 ha az f értelmezési tartományának minden x elemére igaz, hogy f(x) eleme a f -1 értelmezési tartományának és f -1 (f(x)) = x. Ha az f és az f -1 függvények egymásnak inverzei, akkor az f értelmezési tartománya az f -1 értékkészlete, az f értékkészlete azf -1 értelmezési tartománya. Az f és az f -1 akkor grafikonjai tengelyesen tükrösek az y = x egyenletű egyenesre nézve. Megnézünk néhány példát az inverz függvényre a videón. Például inverze egymásnak a négyzetgyök függvény és az x2 függvény a megfelelő értelmezési tartomány mellett, vagy az f(x) = 3x és az 1/3 x is. Algebrai úton általában könnyen megkaphatjuk egy függvény inverzének hozzárendelési szabályát. Kitérünk még arra is, hogy az exponenciális és logaritmusos kifejezésekkel hol találkozhatunk, illetve az exponenciális, logaritmusos egyenletek megoldása milyen hétköznapi, v. műszaki problémák megoldásánál fontos. Említünk matematikatörténeti vonatkozásokat is.

7. tétel: Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek. Másodfokúra visszavezethető egyenletek. Egyenletek ekvivalenciája, gyökvesztés, hamis gyök, ellenőrzés. Megmutatjuk a teljes kidolgozott tételt, úgy, ahogyan a vizsgán elmondhatod. Közben látni fogod, hogy mit érdemes a táblára írni. A videó második felében segítünk, hogy gyorsan meg is tudd tanulni a tételt. Mi az egyenlet, mit jelent az egyenlet alaphalmaza, értelmezési tartománya, illetve az egyenlet megoldásai? Ha két algebrai kifejezést egyenlőségjellel kapcsolunk össze, egyenletet kapunk. Az egyenlet leírásában egy vagy több változó szerepel. Az egyenlet megoldása során a változónak vagy változóknak azokat az értékeit keressük meg, amelyekre az egyenlet igaz logikai értéket vesz fel. Ez(ek) az egyenlet megoldásai vagy gyökei Minden egyenletnek van egy alaphalmaza, és ennek egy részhalmaza az értelmezési tartomány. Az értelmezési tartomány az alaphalmaznak azon legbővebb részhalmaza, amelyen az egyenletben szereplő összes algebrai kifejezés értelmezve van. Amennyiben nem adunk meg mást, a valós számok halmazát tekintjük alaphalmaznak. Ha az értelmezési tartomány minden elemére igaz lesz az egyenlet, akkor azt mondjuk, hogy az az egyenlet azonosság. Ha egyetlen értelmezési tartománybeli elemre sem igaz az egyenlet, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Egy másik megközelítés szerint az egyenlet mindkét oldala egy-egy függvény hozzárendelési szabálya. Az egyenlet megoldása során pedig azokat az értelmezéstartománybeli -eket keressük, amelyekre a két függvény felvett függvényértéke megegyezik. Amennyiben grafikus úton oldjuk meg az egyenletet, a két függvény metszéspontjának vagy metszéspontjainak koordinátája lesz a keresett megoldás. Melyek a másodfokú egyenletek, és hogyan oldjuk meg őket? A másodfokú egyenletek kanonikus, vagy nullára rendezett alakja: ax2 + bx + c = 0 alakú, ahol a, b és c valós paraméterek. Ők az úgynevezett együtthatók, x pedig a változó. Az a értéke nem lehet 0, hiszen akkor nem lenne x2 -es tag, tehát az egyenlet nem lenne másodfokú. Tétel: ax2 + bx + c = 0 alakú, (a nem 0) másodfokú egyenlet megoldásait az x1,2 =…. (másodfokú egyenlet megoldóképlete) képlettel kaphatjuk meg. A bizonyítás lépéseit a videón láthatod. A másodfokú egyenlet megoldásainak a száma a diszkriminánstól függ. A diszkrimináns a megoldóképletben a gyök alatt látható kifejezés. Ha D < 0, nincs valós gyök, ha D = 0, két egybeeső valós gyök van, ha D > 0, két különböző valós gyök van. Feladat: x2 + 6x + 8 = 0 egyenletet megoldjuk a megoldóképlettel. Hogyan kell megoldani paraméteres másodfokú egyenleteket? Paraméteres másodfokú egyenletek esetén gyakran a paramétert a gyökök számára vagy tulajdonságára megadott adat alapján kell meghatározni. Példa: px2 + 4x + p = 0 egyenletben p a paraméter, x az ismeretlen. Ha pl. az a kérdés, hogy a p paraméter milyen értékei mellett lesz egy megoldása ennek az egyenletnek, akkor ezt a diszkrimináns vizsgálatával lehet megválaszolni. D = 0 -ból kapunk p-re egy összefüggést, annak a megoldásait kell keresni. Gyökök és együtthatók közötti összefüggések felírása, gyöktényezős alak, Viete-formulák. Ha az ax2 + bx + c = 0 másodfokú egyenletnek létezik valós gyöke, akkor a másodfokú kifejezés elsőfokú tényezők szorzatára bontható a gyöktényezős alak segítségével. ax2 + bx + c = a ( x - x1 )( x - x2 ) A Viete-formulák a gyökök és együtthatók közt teremtenek kapcsolatot: x1 + x2 = -b/a ; és x1*x2 = c/a A Viete-formulákat és a gyöktényezős alakot is könnyen igazolhatjuk, ha az x1 -re és x2 -re kapott megoldóképletet behelyettesítjük az összefüggésekbe. A Viete-formulák és a gyöktényezős alak is számos feladat megoldását könnyíti meg. Például nem negatív diszkrimináns esetén szorzat alakba tudjuk írni a másodfokú számlálót vagy nevezőt, így egyszerűsíteni tudunk az azonos tényezőkkel. A másodfokú egyenlőtlenség megoldásának lépései. Ha másodfokú egyenlőtlenséget akarunk megoldani, akkor általában grafikus módon fejezzük be a feladatmegoldást, miután a megoldóképlettel a gyököket meghatároztuk. A másodfokú hozzárendelés képe parabola, a kiszámított gyökök a parabola zérushelyei. Két egybeeső valós gyök esetén a parabola érinti az x tengelyt, ha nincs valós gyök, akkor pedig a másodfokú kifejezés minden x-re pozitív vagy minden x-re negatív értéket vesz fel. A parabola ábrázolása után az egyenlőtlenség megoldásai leolvashatók a garfikonról. Melyek a másodfokúra visszavezethető egyenletek és hogyan oldjunk meg őket? Ha egy kifejezés és ugyanannak a kifejezésnek a négyzete szerepel az egyenletben, akkor az adott kifejezésre érdemes új ismeretlent bevezetünk. Mert így az új ismeretlenre nézve lesz másodfokú az egyenlet vagy az egyenlőtlenség. Ezek az egyenletek, egyenlőtlenségek eredeti formájukban lehetnek például magasabb fokúak, logaritmusosok, trigonometrikusak vagy akár összetettebb algebrai kifejezésre nézve másodfokúak. Megnézünk néhány példát is. Mikor ekvivalens az egyenlet átalakítása? Mikor fordulhat elő gyökvesztés illetve hamis gyök? Miért és mikor kell ellenőrizni az egyenlet megoldását? Nagyon fontos, hogy az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásánál mindig figyeljük, hogy ekvivalens, vagy nem ekvivalens a végrehajtott lépés, vagyis azt, hogy a lépések következtében az újabb és újabb egyenlet ekvivalens-e az előző lépésben szereplő egyenlettel. Két egyenlet akkor ugyanaz, ha értelmezési tartomány a és megoldáshalmaza is ugyanaz. Ekvivalens átalakításokra és nem ekvivalensekre is mutatunk példákat. Ha az átalakítás során megváltozik az egyenlet értelmezési tartománya, gyököt veszíthetünk, de akár hamis gyökök is jöhetnek be. A hamis gyököket lehet kizárni ellenőrzéssel. A másodfokú egyenletek, összefüggések alkalmazására mutatunk példákat a tétel végén.

Ez a feladatsor segít, hogy könnyebb legyen a vizsgázás. Tedd próbára tudásod! Oldjuk meg közösen a példákat: oszthatósági feladat, műveletvégzés halmazokkal, algebrai egyenletek megoldása, függvényábrázolás és jellemzés, egyenletlevezetés, szöveges feladat, 

Tovább teszteljük mit tudsz! Oldjuk meg együtt a feladatokat:, geometria (deltoid területe, oldala, körcikk területe, középponti szög).

Ebben a matek tananyagban a szinusz szögfüggvény általánosítását vezetjük be, megnézzük a függvény tulajdonságait és a szinuszos alapegyenleteket. Azt is részletesen elmagyarázzuk, mi is az a radián, mert erre is szükség van a trigonometrikus egyenletek megoldásához.

Részletesen elmagyarázzuk, mi is az a radián, mert erre is szükség van a trigonometrikus egyenletek megoldásához.

Szinuszfüggvény jellemzését nézzük meg. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, paritás. A szinuszfüggvény periodikus függvény.

Gyakoroljuk feladatokban, amit a szinusz x általánosításáról tanultunk.

Ha jól tudod a hatványozás azonosságait, akkor az exponenciális egyenletek megoldása is menni fog. Nézzük meg ennek lépéseit, a típusfeladatokat, és gyakoroljuk ezek megoldását! Sok gyakorló példa vár.

Gyakoroljuk tovább az exponenciális egyenletek megoldását. Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait a feladatmegoldáshoz.

Megmutatjuk, mik azok a paraméteres egyenletek, és hogyan kell megoldani az egyenleteket, ha több betű is van bennük. Megkeressük, mi a paraméter és mi az ismeretlen egy egyenletben. Mi köze van mindennek a fizika és kémia feladatok megoldásához? Fizikai, kémiai, matematikai képleteken is bemutatjuk, hogyan fejezheted ki az ismeretlent.

Lezárjuk a paraméteres egyenletek témáját. Még két fizika/kémia példát nézünk meg részletesen.

Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek algebrai megoldása. Egy kifejezés abszolút értéke vagy önmaga, vagy az ellentettje lehet, attól függően, hogy a kifejezés értéke pozitív, vagy negatív. Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

Folytatjuk az abszolútértékes egyenletek megoldását. Esetekre bontjuk a megoldást.

A törtekkel már találkozhattál egyenletekben is. Most egy új módszert mutatunk meg a törtes egyenletek megoldásához. Gyakoroljuk a közös nevezőre hozást. Feladatokat oldunk meg.

Gyakoroljuk a közös nevezőre hozást. Törtes egyenleteket oldunk meg.

Megmutatjuk az egyenlőtlenségek megoldásának titkát a mérlegelv segítségével. Miben egyezik és miben különbözik az egyenletek megoldásától? Hogyan befolyásolja a helyes eredményt az alaphalmaz? Gyakorló feladatokat oldunk meg.

Gyakoroljuk az egyenlőtlenségek megoldását.

Gyakorolhatod mindazt, amit az egyenletrendezésről, egyenletek megoldásáról (mérleg-elvről) megtanultál. Sok példa és egy szöveges feladat is vár rád.

Gyakoroljuk tovább az egyenletmegoldást. Egyenletrendezés mérleg-elvvel.

Ebben a matek tananyagban a koszinusz-függvény általános definíciójával kapcsolatos feladatokat oldunk meg.

Ebben a matek tananyagban a szinusz-függvény után a koszinusz-függvény általános definícióját nézzük át.

Ebben a matek tananyagban a szinusz-függvény után a koszinusz-függvény általános definícióját, a koszinusz-függvény tulajdonságait nézzük át. Feladatokkal gyakorlunk.

Egyenletek megoldását gyakoroljuk: zárójelfelbontás, átalakítások, tört eltüntetése, egyenletrendezés, ismeretlen kifejezése. Előfordul, hogy nincs megoldása az egyenletnek. Azonosságról is beszélünk. Átismételjük a számhalmazokat: természetes számok, pozitív és negatív egész számok, racionális számok, irracionális számok, valós számok.

Törtes egyenleteket oldunk meg.  Van-e racionális megoldása az egyenletnek? Pozitív számok körében oldunk meg egyenletet.

Ezzel a videóval a másodfokú egyenletek megoldásához szükséges algebrai összefüggéseket ismételheted át és gyakorolhatod. A nevezetes azonosságokat, a teljes négyzetté alakítást is megnézzük.

Algebrai törtek egyszerűsítése a tananyag első felének a témája.  A videó második felében algebrai törteket hozunk közös nevezőre. Feladatokkal gyakorlunk.

Az olyan egyenlőtlenségek megoldása, melyek törteket tartalmaznak, különösen figyelmet igényel. Nem lehet úgy bánni velük, mint az egyenletekkel, mert akkor bizony nem kapunk helyes eredményt. Erről a videóról megtanulhatod az ilyen egyenlőtlenségek megoldásának csínját-bínját.

Gyakoroljuk tovább a törtes egyenlőtlenségek megoldását.

A másodfokú egyenletek megoldásánál a legfontosabb, hogy ismerd és alkalmazni tudd a másodfokú egyenlet megoldóképletét. A diszkrimináns ismerete segíthet a gyökök számának meghatározásában.

Gyakoroljuk a másodfokú egyenletek megoldását.. Emelt szinten tudni kell a Viete-formulákat is, a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. Mindezeket megtanulhatod, és begyakorolhatod ezzel a videóval.

Összefoglaljuk az egyenletekhez szükséges tudnivalókat. A nevezetes azonosságokkal kezdjük, majd a teljes négyzetté alakítást nézzük meg.

Az algebrai törteket gyakoroljuk feladatokban. Hozzuk közös nevezőre a törteket!