Egyenlő szárú háromszög

Ebben a videóban is alakzatok kerületéhez, és területéhez kapcsolódó feladatokat oldunk meg, de most a háromszög lesz a középpontban. Derékszögű háromszög területe, kerülete, egyenlőszárú háromszög területe, háromszögekre bontható sokszögek területe. Mekkora része a területnek a színezett rész? - az ilyen típuspéldákat is begyakorolhatod.

22. Tétel: Területszámítás elemi úton és az integrálszámítás felhasználásával. A tétel kifejtésében a területszámításról fogunk beszélni. Először elemi úton vizsgáljuk meg a témát, síkgeomatriai alakzatok területét részletezzük, majd áttérünk az integrálszámítás felhasználására. A tételt hallani fogod, és látni azt, amit közben érdemes a táblára írnod. Hogyan lehet definiálni egy alakzat területét? A területet úgy értelmezzük, mint egy függvényt, ahol minden síkidomhoz hozzárendelünk egy pozitív számot 3 tulajdonsággal. Ezek a következők: Az egységnégyzet területe 1. Az egybevágó sokszögek területe egyenlő. A 3. tulajdonság pedig úgy szól, hogy ha egy sokszöget feldarabolunk részsokszögekre, akkor a részek területének összege a sokszög területével egyenlő. Hogyan számoljuk ki különböző sokszögek területét? A sokszögek esetén a terület nagyságának meghatározása az egységnyi területtel való összevetés alapján történik. Ezt a szerepet tölti be az egységnégyzet. Nézzük át néhány speciális sokszög területének kiszámítási módját! A téglalap területe két szomszédos oldalának szorzatával egyenlő. A paralelogramma területe az egyik alap és a hozzátartozó magasság szorzata. Részletezzük a háromszög területének képletét, a trapéz területének kiszámítását. Mivel minden sokszög véges számú háromszögre darabolható, ezért a sokszög területe egyenlő a háromszögek területösszegével. A háromszög területének kiszámítására sok képlet van, ezek közül felírtam a leggyakrabban használtakat. Ezekben a képletekben s a félkerület, az r a beírt kör sugara, R pedig a háromszög körülírt körének a sugara. Azt a tételt bizonyítjuk, hogy átalános négyszög területét úgy számíthatjuk ki, hogy az átlók hosszát megszorozzuk a közre zárt szögük szinuszával, és ezt a szorzatot osztjuk kettővel. A bizonyítást a videón részletezzük. Szabályos sokszögek területét úgy kapjuk meg, hogy a középpontjukat összekötjük a csúcsokkal és így n db egyenlő szárú háromszöget kapunk, ezek területe már a középponti szög és a sugár ismeretében kiszámolható. Kör területének kiszámítása. Tétel: Az r sugarú kör területe r2pi-vel egyenlő. Mi a kapcsolat a területszámítás és az integrálszámítás között? A határozott integrállal függvénygörbe vonalával határolt síkidomok területét tudjuk meghatározni. A határozott integrál definíciójához szükségünk van még az intervallum felosztásának a definíciójára. Utána vesszük ennek a felosztásnak egy intervallumát, például az [xi-1;xi] zárt intervallumot. Kis mi legyen az f függvénynek ebben az intervallumban felvett értékeinek alsó határa, nagy Mi pedig a felső határa. Korlátos függvényeknél bizonyítható, hogy ezek az értékek léteznek. Az [xi-1;xi] intervallum fölé téglalapokat szerkesztünk, kettő darabot, kis mi, illetve nagy Mi magassággal. Ha ezt a felosztás összes intervallumában elvégezzük, megkapjuk a vizsgált tartomány egy körülírt és egy beírt sokszögét. Ezeknek a sokszögeknek vizsgáljuk meg a területét. A beírt sokszög területét alsó közelítő összegnek hívjuk, a körülírt sokszög területét pedig felső közelítő összegnek hívjuk. A felosztást finomíthatjuk. Így végtelen sok alsó és felső összeg keletkezik, amelyekről elmondható, hogy semelyik alsó összeg nem lehet nagyobb semelyik felső összegnél. Most már tudjuk definiálni a határozott integrált: Az [a; b] intervallumon korlátos, f függvény integrálható, ha bármely, minden határon túl finomodó felosztássorozatához tartozó alsó és felső összegei sorozatának közös határértéke van. Ezt a közös határértéket nevezzük az f függvény [a; b] intervallumon vett határozott integráljának. Két függvény által közrezárt síkidom területe is kiszámolható a határozott integrállal. Ha f(x)>g(x), akkor az f és g függvények görbéi által közrezárt síkidom területe az f – g függvény integrálásával számolható. A tételt matematika-történeti vonatkozások és gyakorlati alkalmazáshoz kapcsolódó példák zárják. A tétel végén pedig segítünk megtanulni is a tételt, gyakorolhatsz a saját tempódban.

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában. Az utolsó tételt akár viszonylag könnyen meg is úszhatod, és válogathatsz az előző szóbeli tételekből hozzá példákat (ezzel időt spórolhatsz meg.) Mi most megmutatunk Neked másik bizonyításokat is, hogy több bizonyítás lehessen a tarsolyodban, ha szükséged lenne rá. Négyféle bizonyítási módszert használunk középiskolában: a direkt bizonyítást, az indirekt bizonyítást, a teljes indukciót és a skatulya-elvet. Ezeket a módszereket be is mutatjuk tételek bizonyításában. 1. A matematikában leggyakrabban a direkt bizonyítást használjuk. Direkt bizonyításnak nevezzük azt az eljárást, amikor igaz feltételekből például axiómákból vagy korábban bizonyított tételekből, helyes logikai lépések során a bizonyítandó állításhoz jutunk. Thálesz-tételét fogjuk így bizonyítani a videón. A tétel így szól: Ha egy kör egyik átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal átmérővégpontoktól különböző bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. A bizonyításhoz a körben kialakuló egyenlőszárú háromszögeket kell felhasználni. Néhány szögekre vonatkozó összefüggést felírva megkapjuk a bizonyítandó állítást. 2. Hogyan működik az indirekt bizonyítás? Az indirekt módszer két logikai törvényen alapul: minden kijelentés igaz vagy hamis és egy igaz állítás tagadása hamis, és fordítva, hamis kijelentés tagadása igaz. Indirekt bizonyítási módot akkor érdemes választani, ha az állítás tagadása könnyebben kezelhető, mint maga az állítás. A precíz definíció így szól: Indirekt bizonyításnak nevezzük azt az eljárást, amikor feltételezzük a bizonyítandó állítás tagadását, majd helyes logikai lépések során ellentmondásra jutunk. Egy klasszikus, ide tartozó bizonyítás, hogy a gyök kettő irracionális szám (ezt bizonyítjuk a 2. tétel kifejtésekor) Most azonban a Pitagorasz-tétel megfordítását fogjuk bebizonyítani indirekt módon. A Pitagorasz-tétel megfordítása: ha egy háromszögben két oldalhossz négyzetének összege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. A Pitagorasz tételből tudjuk, hogy a2+b2=c2. Indirekten tegyük fel, hogy ez a háromszög nem derékszögű. Rajzolunk egy általános háromszöget, aminek az oldalai a, b és c. Ezután rajzolunk egy derékszögű háromszöget a, b befogókkal, ez lesz az AB’C háromszög. … A folytatásban belátjuk, hogy a két háromszögnek egybevágónak kell lenni. Evvel viszont ellentmondásra jutunk, hiszen az indirekt feltevésben azt mondtuk, hogy a háromszög nem derékszögű. Ezzel bebizonyítottuk a Pitagorasz-tétel megfordítását. 3. Hogyan kell teljes indukciós bizonyítást levezetni? A teljes indukció olyan állítások bizonyítására alkalmas, melyek n pozitív egész számtól függenek. A teljes indukciós eljárás során először bebizonyítjuk az állítást n = 1-re (vagy valamilyen konkrét értékre). Ezután feltételezzük, hogy az állítás igaz n = k-ra, ez az úgynevezett indukciós feltevés. 3. lépésben az indukciós feltevés felhasználásával bebizonyítjuk, hogy az állítás igaz n = (k + 1)-re. Ezzel az állítást minden n pozitív egész számra bizonyítottnak tekintjük Azt a tételt fogom bizonyítani, hogy Ha egy számtani sorozat első tagja a1, különbsége d, akkor a számtani sorozat első n tagjának összege így számolható, ahogy ide felírtam. A 3 lépés: 1.) megvizsgálom, hogy n=1-re teljesül-e az állítás. Ez könnyen belátható, behelyettesítés és egyszerűsítés után megkapom, hogy az első egy tag összege a1. Ez nyilvánvalóan igaz. 2.) Felírjuk az indukciós feltételt, azaz, hogy n=k-ra teljesül az állítás. Az összefüggésbe n helyére k-t írunk. 3. lépés: Be kell látni, hogy n=k+1-re is teljesül az állítás. Ehhez behelyettesítettjük az eredeti képletbe n helyére k+1-et. És az előző (k-ra vonatkozó) összefüggést felhasználva algebrai átalakításokkal ügyesen kihozzuk a k+1-re vonatkozó összefüggést. A teljes indukció első írásos emléke 1575-ből származik: Ekkor bizonyította be a Maurolico olasz matematikus az első n páratlan szám összegére vonatkozó tételt ilyen módon. 4. A skatulya-elv mit jelent? Tétel: Ha n darab tárgyat k darab skatulyában helyezünk el, és n > kp, akkor biztosan lesz legalább egy olyan skatulya, amelyikbe legalább p + 1 tárgy kerül. Azt a tételt bizonyítjuk be skatulyaelvvel, hogy ha p és q pozitív egész számok, akkor a p/q szám tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtelen, de szakaszos tizedes tört. Ha p-t elosztjuk q-val, akkor q féle osztási maradékot kaphatunk. 0-t, 1-t, 2-t és így tovább, egészen q-1-ig. Ezek lesznek a skatulyák, és könnyen belátható, hogy emiatt legfeljebb a q-adik osztásnál már olyan maradékot kapunk, amely korábban már volt, azaz innen ismétlődni fognak a tizedes tört jegyei... A skatulyaelvet Dirichlet (1805–1859) francia matematikus bizonyította be. Gyakorlati alkalmazásként az összes, középiskolában tanult tételt fel lehet hozni, mindegyiket valamelyik fenti módszer segítségével bizonyítottuk. A tétel végén matematikatörténeti vonatkozásokat mutatunk be.

A háromszögek fajtáit mutatjuk be. Hegyesszögű, derékszögű, tompaszögű, egyenlőszárú, különböző szárú, különböző oldalú és szögű háromszögekről lesz szó.

Kiszámítjuk a háromszög belső szögét, külső szögét és a hiányzó szögét.

Gyakoroljuk a háromszögek belső és külső szögeinek a kiszámítását.

A síkgeometria, vektorok témakörben az első videón a háromszögekkel kapcsolatos ismereteket foglaljuk össze. Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai, szögfelező-tétel. Az egyenlő szárú háromszögek és az egyenlő oldalú háromszögek is terítékre kerülnek.

Ebben a videóban a derékszögű háromszögekre vonatkozó tételeket szedjük össze.

Háromszög szerkesztése. Megtanuljuk, hogyan szerkesszünk háromszöget körzővel, szögmérővel és vonalzóval a háromszög három különböző adatából (oldalak,két oldal és a közbezárt szög, egy oldal és a rajta fekvő két szög, egyenlő szárú háromszög alapja, szára és szárszöge). Vegyél elő papírt, ceruzát, körzőt, vonalzót és szögmérőt! Megtanuljuk a háromszög egyenlőtlenség szabályát is.

Háromszög egyenlőtlenség. Megvizsgáljuk, hogy a feladatban megadott adatokból szerkeszthető-e háromszög.

Háromszögek nevezetes vonalait, nevezetes pontjait nézzük át. A háromszögek belső szögeit, külső szögeit, a háromszög oldalait vizsgáljuk.

Derékszögű háromszögekről, egyenlő szárú háromszögről és további speciális háromszögekről lesz szó: egyenlő oldalú háromszög, egyenlő szárú derékszögű háromszög.

Átbeszéljük részletesen a Pitagorasz-tételt. Példákkal gyakorlunk.