Emelt szintű matematika érettségi szóbeli tételek

Emelt szintű matematika szóbeli érettségi tételek kidolgozva

• 01. Tétel: 1-5.

  a) 1. Halmazok, halmazműveletek...

  Tananyag   | Kezdés »

  1. tétel: Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. A halmaz és a halmaz eleme alapfogalom, nem definiáljuk. Definiáljuk a természetes számok, az egész számok, racionális számok, fogalmát, az irracionális számok és valós számok halmazát. Részhalmaz: Akkor mondjuk, hogy az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha az A minden eleme egyben eleme a B-nek is. Ha egy halmaz egy másiknak részhalmaza, de nem egyenlő vele, akkor azt mondjuk, hogy valódi részhalmaza. Két halmazról azt mondjuk, hogy diszjunktak, ha nincs közös elemük. Halmazműveletek:. Az A halmaz komplementerébe azok az alaphalmazbeli elemek tartoznak, amelyek az A halmazban nincsenek benne. Metszet: Két vagy több halmaz metszetébe azok az elemek tartoznak bele, amelyek mindegyik halmaznak elemei. Unió: Halmazok uniója alatt az egyesítésüket értjük. Az A unió B halmazba minden olyan elem beletartozik, amely az A vagy a B halmazban benne van. Különbség-halmaz: Az A-ból B halmaz elemei olyan elemek, amelyek A-ban benne vannak, de B-ben nem. Halmazműveletek tulajdonságai:. A metszet és az unió művelete kommutatív tulajdonságú, ez az A és B felcserélhetőségét jelenti. Asszociatív mindkét művelet, azaz csoportosítható, átzárójelezhető. Mindkét művelet disztributív is a másikra nézve. De-Morgan azonosságok: Két halmaz metszetének komplementere a komplementereik uniója, az uniójuk komplementere pedig a komplementerek metszete. Halmazok elemszámához kapcsolódó tételek. A szita-formula alapján két halmaz uniójának elemszámát megkapjuk, ha a halmazok elemszámának összegéből kivonjuk a metszetük elemszámát. Három halmaz uniójának elemszáma pedig kiszámítható, ha a halmazok elemszámának összegéből kivonjuk a kétszeres metszetek elemszámát, majd a háromszoros metszet elemszámát egyszer hozzáadjuk. Tétel: Az n elemű halmaz összes részhalmazainak számáról Nevezetes ponthalmazok síkban és térben:. A kör adott ponttól adott távolságban levő pontok halmaza a síkon. Ha a térben vesszük az ugyanilyen tulajdonságú pontokat, akkor azok egy gömbfelületet határoznak meg. Két ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon nem más, mint a két pontot összekötő szakasz felezőmerőlegese. Térben ezek a pontok egy olyan síkon helyezkednek el, amely merőleges a két pontot összekötő szakaszra és áthalad annak felezőpontján. Két párhuzamos egyenestől a síkon egyenlő távolságra egy velük párhuzamos egyenes van, amely a két egyenes távolságát felezi. Ha a két egyenes metszi egymást, akkor a tőlük egyenlő távolságra levő pontok halmaza a két egyenes által meghatározott szögtartományok szögfelezői lesznek. Ezek merőlegesek egymásra. Egy egyenestől és egy ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza a síkon egy parabolaív lesz. Az ellipszis azon pontok mértani helye a síkon, amelyeknek két adott ponttól vett távolság-összege állandó. A hiperbola azon pontok mértani helye a síkon, amelyeknek két adott ponttól vett távolság-különbsége állandó.

  b) 2. Racionális és irracionális számok...

  Tananyag   | Kezdés »

  2. tétel: Racionális és irracionális számok. Műveletek a racionális és irracionális számok halmazán. Közönséges törtek és tizedes törtek. Halmazok számossága. Tanuld meg a racionális és irracionális számok fogalmát, a műveletek tulajdonságait. Segítünk megtanulni, hogyan bizonyítsd be, hogy a gyök 2 irracionális szám, és mit kell elmondanod a tizedestörtekről, törtekről. Mik azok a racionális és irracionális számok? Racionális számoknak azokat a számokat nevezzük, amelyek felírhatók két egész számhányadosaként. Az irracionális számok azok a számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. A valós számok halmaza nem más, mint ennek a két diszjunkt halmaznak az uniója. A valós számok halmaza és a valós számegyenes pontjai közt kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létezik. Ha például a nulla pontnál egységnyi oldalhosszúságú négyzetet szerkesztünk a 0-tól 1-ig tartó szakasz fölé, akkor ennek a négyzetnek az átlója, ami gyök2 hosszúságú, kijelöli a számegyenesen négyzetgyök 2 helyét. Tétel: 2 négyzetgyöke irracionális szám. A tételt indirekt bizonyítási módszerrel bizonyítjuk. Műveletek a racionális és irracionális számok halmazán. A racionális számok halmaza zárt a négy alapműveletre nézve. Ez azt jelenti, hogy két racionális szám összege, különbsége, szorzata és hányadosa is racionális. Természetesen osztás esetén az osztó nem lehet nulla, a 0-val való osztást nem értelmezzük. Mivel a racionális számok esetén létezik közönséges tört alak, ezért elegendő ilyen alakra megnézni a műveleteket. Eredményként mindig racionális számot kapunk, hiszen a kapott tört számlálója is és nevezője is egész szám, mivel az egész számok halmaza is zárt a négy alapműveletre. Két közönséges törtet úgy szorzunk össze, hogy a számlálót a számlálóval, nevezőt pedig a nevezővel szorozzuk. A számláló és a nevező is egész szám lesz, tehát a szorzás eredményeként szintén racionális számot kapunk. Közönséges törttel pedig úgy osztunk, hogy a reciprokával szorzunk. Az előzőekhez hasonlóan most is racionális számot kapunk hányadosként. Milyen tulajdonságai vannak ezeknek a műveleteknek? Az összeadás és a szorzás művelete kommutatív, tehát összeadásnál a tagok, szorzás esetén a tényezők felcserélhetők. Ez a két művelet asszociatív is, tehát csoportosítva is elvégezhetjük őket. A szorzás művelete disztributív az összeadásra (és a kivonásra), tehát egy zárójeles összeg tagjait tagonként is beszorozhatjuk. Milyen tizedes törtek vannak? Melyek a racionális számok közülük? A véges tizedes törteket nagyon könnyű meghatározni két egész szám hányadosaként, hiszen az egészrészt és a törtrészt is fel tudjuk írni közönséges tört alakban. Természetesen így nem mindig kapjuk a legegyszerűbb alakot, azt akkor kapjuk meg, ha egyszerűsítünk a számláló és a nevező legnagyobb közös osztójával. A végtelen szakaszos tizedes törtek szintén átírhatók közönséges tört alakba. Ennek egyszerű, elemi módja is van, és végtelen mértani sorok összegképletének segítségével is meghatározható a közönséges tört alak. A végtelen nem szakaszos tizedes törtek irracionális számok. Vannak olyan irracionális számok, amelyeket kiemelt szerepük miatt betűvel is eljelöltek, ilyen például a vagy az . De irracionális szám az összes olyan egész számnak a négyzetgyöke is, amely nem négyzetszám. Az irracionális számok halmaza a 4 alapműveletre nézve nem zárt. Halmazok számossága. Végesnek mondjuk a halmazt, ha az elemszáma egy természetes számmal megadható. A racionális és az irracionális számok halmazának elemszáma nem adható meg egy természetes számmal, ezért ezek végtelen halmazok. A végtelen elemszámú halmazok esetében megkülönböztetünk megszámlálhatóan végtelen elemszámot és nem megszámlálhatóan végtelen elemszámot. Megszámlálhatóan végtelen az a halmaz, amelynek elemeit valamilyen módon sorba tudjuk rendezni. (Meg tudunk adni egy olyan eljárás, amelyet követve a sorba rendezésnél egyetlen elem sem maradna ki) A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen. A Cantor-féle átlós eljárással könnyen sorba rendezhetjük őket. Egy táblázat első sorában a számlálókat, első oszlopában pedig a nevezőket helyezzük el. Előállítjuk az összes lehetséges módon a közönséges törtet. Biztosan szerepelni fog a táblázatban minden közönséges tört, illetve az átlós bejárást követve a sorba rendezés is adódik. Az irracionális számok halmazának elemei nem sorba rendezhetők, nem megszámlálhatóan végtelen ez a halmaz. Az ilyen halmazt kontinuum számosságúnak nevezzük. Ilyen a valós számok halmaza is. A racionális számok és irracionális számok felhasználása. A racionális számok és irracionális számokat már Pitagorasz korában is használták. Említettem, hogy a valós számegyenesen geometriai ismereteket felhasználva ekkor már ismerték helyüket. Építészeti megoldásokban trigonometrikus alakban kifejezett irracionális számokkal is bőven találkozhatunk. De racionális és irracionális számokat kaphatunk másodfokú, trigonometrikus, exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásakor is. Irracionális számok nélkül, pontosan a pi nélkül a kör területéről és kerületéről, forgástestek térfogatáról sem tudnánk beszélni.

  c) 3. Oszthatóság, prímszámok, számrendszerek ...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  3. tétel: Oszthatóság, oszthatósági szabályok és tételek. Prímszámok. Számrendszerek. A kidolgozott tételben mindent elmondunk, és mutatjuk azt is, mit érdemes a táblára írnod, mit a jegyzetedbe. A videó második felében gyakorolhatod a tétel elmondását is, segítünk memorizálni. Az oszthatóság és tulajdonságai. A definíción túl sorra vesszük az olyan tulajdonságokat, mint összeg és különbség oszthatósága, vagy, hogy ha a osztója b-nek, akkor a osztója b többszöröseinek is. Az oszthatóság tranzitív tulajdonságát: vagyis hogy ha a osztója b-nek és b osztója c-nek, akkor a is osztója c-nek. Ezek olyan tételek, amiket a definíció alapján könnyű bizonyítani. Melyik oszthatósági szabályokat kell elmondani? A 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10-zel való oszthatóság szabályai mindenképpen kellenek. Ezen felül érdemes beszélni arról, hogy az összetett számokkal való oszthatóságot egyszerűbb oszthatóságokra lehet bontani, ha relatív prímek az osztók: pl. 36-tal akkor és csak akkor osztható egy szám, ha 4-gyel és 9-cel is osztható. Melyek a prímszámok? Prímeknek azokat az 1-nél nagyobb egészeket nevezzük, melyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók. A Számelmélet alaptétele az egyik legfontosabb tétel a prímekkel kapcsolatban: minden szám egyértelműen bontható fel prímtényezők szorzatára (a tényezők sorrendjétől eltekintve.) A prímtényezős felbontásból a szám osztóinak számát könnyen ki lehet számolni, az osztók számára vonatkozó tételt bizonyítjuk is. Mit jelent a 2-es vagy a 10-es számrendszer, hogyan általánosíthatunk? . A helyiértékek az egyes számrendszerekben annak a számnak az egész kitevős hatványai, amely az adott számrendszer alapja. Így a 2-es számrendszerben 2 hatványai lesznek a helyiértékek, a 10-esben pedig 10 hatványai. A számjegyek sem lehetnek akármilyenek, a kettesben csak kétféle számjegy létezik: a 2 és a 0; a 10-esben 10 féle szjegy van. A tétel zárásaként az oszthatóság és a prímszámok alkalmazásaira térünk ki.

  d) 4. A matematikai logika elemei...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  4. tétel: A matematikai logika elemei. Logikai műveletek. Állítás és megfordítása, szükséges és elégséges feltételek, bemutatásuk tételek megfogalmazásában és bizonyításában. Elmondjuk neked a teljes kidolgozott tételt, és látod, mit kell a táblára írnod, majd segítünk ezt megtanulni is Alapfogalmak: Az állítás definíciója: olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen el lehet dönteni, hogy igaz vagy hamis. Az állításoknak logikai értéke van: egy állítás lehet igaz, vagy hamis. Milyen logikai műveleteket kell tudnod? . A tagadás egyváltozós művelet. Egy állítás tagadása az a kijelentés, amely akkor igaz, ha az állítás hamis, és akkor hamis, ha az állítás igaz. Az ÉS-sel összekapcsolt összetett állítás (konjunkció) logikai értéke csak akkor lesz igaz, ha mindkét állítás igaz volt. Különben hamis a logikai érték. Diszjunkció („ megengedő VAGY”): Amennyiben legalább az egyik állítás igaz a két állítás közül, a VAGY-gyal összekötött állítás is igaz lesz. Az implikáció csak abban az esetben ad hamis logikai értéket, ha az előtag igaz, az utótag pedig hamis. Ekvivalencia: akkor igaz két állítás ekvivalenciájának logikai értéke, ha az állítások logikai értéke azonos. A logikai műveletek tulajdonságai. A logikai műveletek kommutatívak ; asszociatívak és mindkét művelet disztributív a másikra nézve. Két vagy több állításból logikai művelettel és zárójelek alkalmazásával többszörösen összetett kifejezéseket kapunk. A logikai értéktáblázat készítése egyben bizonyítási módszer is. Két logikai állítás akkor egyenlő, ha a bennük szereplő állítások minden logikai értékére ugyanolyan igazságértéket adnak. De-Morgen azonosságok. 1. Tétel: "A és B" állítás negáltja egyenlő negált A vagy negált B-vel. 2. Tétel: "A vagy B" állítás negáltja egyenlő negált A és negált B-vel. A matematikai tételek többsége implikáció vagy ekvivalencia. Az előtagot igaznak tekintve a "ha A, akkor B" igaz, akkor azt mondjuk, hogy B állítás következik A-ból. Ilyenkor az A elégséges feltétele B-nek, a B pedig szükséges feltétele A-nak. Ha B következménye A-nak, de A nem következménye B-nek, akkor B szükséges, de nem elégséges feltétele A-nak. Ha A ekvivalens B-vel, akkor B szükséges és elégséges feltétele is egyben A-nak. Állítás és megfordítása:. Ha egy matematikai tételt leírhatunk formálisan a „ha A, akkor B” szerkezettel, akkor a tétel megfordítása a „ha B, akkor A” szerkezetű állítás lesz. Pitagorasz -tétel és megfordítása egy ekvivalencia: Akkor és csakis akkor derékszögű egy háromszög, ha két kisebb oldalának négyzetösszege megegyezik a legnagyobb oldal négyzetével. Húrnégyszögek tétele és megfordítása is ekvivalencia, hiszen egy négyszög akkor és csakis akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°. Vannak nem megfordítható állítások. Pl.: Ha egy szám osztható 36-tal, akkor abból következik, hogy a szám osztható 9-cel. Visszafelé ez nem igaz; a 9-cel való oszthatóság szükséges feltétele a 36-tal való oszthatóságnak, de nem elégséges feltétele. Annak belátására, hogy egy állítás nem igaz, elegendő egyetlen ellenpélda is. A logikai állítások algebrai formába öntése Bool angol matematikushoz fűződik. (Bool-algebra)

  e) 5. Hatványozás, gyökvonás ...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  5. tétel : Hatványozás és a hatványfogalom kiterjesztése, a hatványozás azonosságai. Az n-edik gyök fogalma. A négyzetgyök azonosságai. Hatványfüggvények és a négyzetgyökfüggvény. A tétel kifejtésében először a pozitív egész kitevős hatványozásról, a művelet azonosságairól szeretnék beszélni, majd a hatványozás kiterjesztéséről először negatív egészekre, végül a valós számokra. Majd a hatványozás műveletének inverzéről, a gyökvonásról beszélek, a négyzetgyök azonosságairól, hatványfüggvényekről és négyzetgyökfüggvényről, végül ezek jellemző tulajdonságairól. Mi a hatványozás, hogyan értelmezzük pozitív egész számokra? A hatványozás két szám között értelmezett matematikai művelet. Jelölése Amennyiben az a pozitív egész szám, az an pontosan n db azonos, a-val jelölt szám szorzata. n = 1 esetén nem beszélhetünk szorzatról, definíció szerint minden szám első hatványa önmaga. A hatványozás azonosságai. Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk össze, hogy az alap változatlan, ezt a kitevők összegére kell emelni. Azonos alapú hatványok hányadosa is velük azonos alapú hatvány lesz, a kitevőt pedig úgy kapjuk, hogy a számláló kitevőjééből kivonjuk a nevező kitevőjét. Ezek az azonosságok könynen igazolhatók a definíció alapján, a videón megmutatjuk, hogyan. A következő azonosság is hasonlóan bizonyítható, hatvány hatványozásakor a kitevők összeszorzódnak. Különböző alapú, de azonos kitevőjű hatványokkal is végezhetünk műveleteket. Ha összeszorozzuk őket, akkor megtehetjük, hogy először az alapokat összeszorozzuk, és csak utána hatványozzuk a szorzatot. Ez egyben azt is jelenti visszafelé, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ugyanígy a törtek esetében is a tört hatványa nem más, mint a számláló és a nevező megfelelő hatványának hányadosa. Mit jelent a negatív egész kitevőjű hatvány? A permanencia-elv alapján amennyiben nem a nullát hatványozzuk, bármely szám nulladik hatványát 1-nek definiáljuk. A negatív kitevőt is tudjuk értelmezni, tetszőleges nem nulla valós alap és n pozitív kitevő esetén az lesz. Hogyan értelmezzük, amikor racionális és irracionális szám van a hatvány kitevőjében? Egy a pozitív szám n/m-edik hatványa alatt azt a valós számot értjük, amelyet m. hatványra emelve az a n. hatványát kapjuk. Irracionális kitevőjű hatványt pedig azonos alapú, de racionális kitevős hatványok sorozatának határértékeként fogjuk fel. Igazolhatjuk, hogy az irracionális kitevős hatvány, mint határérték létezik, az azonosságok ugyanúgy érvényben maradnak. A gyökvonás műveletének definíciója. A gyökvonás a megfelelő értelmezési tartomány mellett a hatványozás inverz művelete. Egy nem negatív valós szám 2k-adik, azaz páros gyöke alatt azt a nemnegatív valós számot értjük, amelyet 2k-adik hatványra emelve az a nem negatív valós számot kapjuk vissza. A 2k+1-edik gyök műveletét valós számokon tudjuk végezni, 2k+1-edik gyöke egy valós számnak az a szám lesz, amelyet 2k+1. hatványra emelve az a számot kapjuk vissza. Fontos kapcsolat van a racionális törtkitevő és a gyökvonás között: n-edik gyök ( am) = an/m megfelelő értelmezési tartomány mellett, m pozitív egész szám. Racionális kitevő esetén nem értelmezzük, ha az alap negatív szám, hiszen akkor az m. gyök műveletének elvégzésénél problémák adódhatnának. A négyzetgyök és a köbgyök a két leggyakrabban alkalmazott művelet. A az a nemnegatív valós szám, amelyet önmagával megszorozva az a számot kapjuk vissza. A gyökvonás és a hatványozás művelete felcserélhető, ugyanez a helyzet akkor, ha negatív számról és páratlan gyökről van szó. Viszont ha a valós számok halmazán először emelünk páros kitevőre, majd ugyanennyiedik gyököt is vonunk, akkor a szám abszolútértékét kapjuk meg, nem negatív számok esetén magát a számot, negatív számok esetén pedig az ellentettjüket. A gyökvonás azonosságait ismertetjük. Az a és b nem negatív valós számok. Szorzatuk négyzetgyöke egyenlő a tényezők négyzetgyökének szorzatával. A tétel bizonyítását a videón részletezzük. További azonosságok: a nem negatív és pozitív valós számok estén a hányadosuk négyzetgyöke egyenlő a négyzetgyökeik hányadosával. Nem negatív alap esetén a hatványozás és a négyzetgyökvonás felcserélhető művelet, természetesen a 0 a nulladikon nincs értelmezve. A hatványfüggvényeket, és a tulajdonságaikat nézzük végig. Hatványfüggvénynek nevezzük azt a függvényt, melynek értelmezési tartománya a valós számok halmaza, a függvény x-hez az x n-edik hatványát rendeli hozzá, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. Páros n-ek esetén a függvények grafikonja parabola alakú, egyre nagyobb hatvány esetén a parabola egyre szűkebb. Páratlan n-ek esetén pedig egy ilyen szép ívelt görbét kapunk, mivel negatív x-ek esetén a páratlan hatvány negatív lesz. A függvények jellemzésére is kitérünk, értékkészlet, páros/páratlan tulajdonság, monotonitás, szélsőérték, korlátosság, folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság szempontjai alapján. Megnézzük azt is, hogyan változnak transzformált függvények esetén a függvény tulajdonságai. Mit kell tudni a négyzetgyökfüggvényről és tulajdonságairól? A négyzetgyökfüggvény a nemnegatív valós számok halmazáról képez le valós számokhalmazára, x-hez annak négyzetgyökét rendeli. Grafikonja egy fél fektetett parabola. A nemnegatív számok halmazán ez a függvény az függvény inverze. Értelmelmezési tartománya és értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. További szempontok a függvényjellemzéshez: monotonitás, szélsőérték, korlátosság, folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság. A hatványozás és a gyökvonás rengeteg helyen kap szerepet a feladatok megoldásában. Egyenletekben, geometriában, térgeometriában, Hasonlósági feladatok, egyéb geometriai számítások esetén gyakran kell hatványozni vagy gyököt vonni. Ugyanakkor a kamatos kamat számításnál, mértani sorozatoknál, számrendszerek, vagy akár a mértékváltás esetén is fontos.

• 02. Tételek: 6-10.

  a) 6. A logaritmus ...

  Tananyag   | Kezdés »

  6. tétel: A logaritmus fogalma és azonosságai. Az exponenciális és a logaritmusfüggvény. Az inverzfüggvény. A logaritmus fogalmát definiáljuk, majd a logaritmus műveletének azonosságairól, az exponenciális a és a logaritmusfüggvényről fogunk beszélni, végül a függvények inverzéről, azok képzéséről. A logaritmus definíciója, tulajdonságai. logab az a valós szám, amelyre az a-t emelve b -t kapjuk. a,b > 0, és a nem 1 (Részletesen indokoljuk, hogy miért kellenek ezek a kikötések) Másképpen úgy is mondhatjuk, hogy az logab = c és az ac = b ekvivalens állítások. A 10-es alapú logaritmust lg-vel, a természetes, vagyis e alapú logaritmust ln-nel jelöljük. Melyek a logaritmus azonosságai? A logaritmus műveletének azonosságai közül az első a szorzat logaritmusára vonatkozik: Szorzat logaritmusa a tényezők logaritmusának összege, visszafelé úgy is mondhatjuk, hogy azonos alapú logaritmusokat úgy adunk össze, hogy az argumendumokat összeszorozzuk. A tételt bizonyítjuk is a videón. További logaritmus azonosságok:. Hányados logaritmusa a számláló és a nevező logaritmusának különbsége. Ha pedig egy hatványnak vesszük a logaritmusát, akkor az nem más, mint az alap logaritmusának és a kitevőnek a szorzata. Ilyenkor a kitevőt, mint szorzótényezőt a logaritmus elé írjuk. Egy logaritmusos kifejezést más alapra is átírhatunk, az ismert összefüggés alapján. Ezt az azonosságot is bebizonyítjuk. Mit kell elmondani az exponenciális függvényekről? Exponenciális függvénynek nevezzük azt a valós számok halmazáról leképező függvényt, amely az x-hez az ax -et rendeli, ahol az a egy pozitív valós szám. Ha a függvény grafikonját szeretnénk megrajzolni, akkor két esetet kell megkülönböztetnünk az alaptól függően: Ha az alap 0 és 1 közötti, akkor az ax grafikonja szigorúan monoton csökken, ha pedig 1-nél nagyobb, akkor szigorúan monoton nő. Amennyiben az alap 1, a konstans 1 függvényről van szó. Mindkét esetben az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, az értékkészlet pedig a pozitív valós számok halmaza. Közös tulajdonsága az ax típusú exponenciális függvényeknek, hogy grafikonjuk áthalad a ( 0; 1) ponton, hiszen bármely pozitív szám nulladik hatványa 1. Szélsőértékük nincs, felülről nem korlátosak, tehát nem korlátosak. Konvex függvények, zérushelyük nincs. Nem párosak és nem is páratlanok. Ezek a függvények a folytonosság miatt differenciálhatók és integrálhatók is. A logaritmus függvényeknek mi a közük az exponenciális függvényekhez? A logaritmus függvény a megfelelő exponenciális függvény inverze, a pozitív valós számok halmazáról képez le a valós számok halmazára, x-hez annak a alapú logaritmusát rendeli. Ha a logaritmus alapja 1-nél nagyobb szám, akkor a függvény szigorúan monoton nő, ha 0 és 1 közötti szám, akkor szigorúan monoton csökken. Negatív alapot és 1-es alapot nem értelmezünk logaritmus esetén. Értelmezési tartomány a pozitív számok halmaza, értékkészlete a valós számok halmaza. Zérushelyük van x=1-nél. Szélsőértékük nincs, sem alulról, sem felülről nem korlátosak. Ha az alap 1-nél nagyobb, a függvény konkáv, ha 0 és 1 közötti, akkor konvex. Nem párosak és nem is páratlanok. A függvények a folytonosság miatt differenciálhatók és integrálhatók is. Mit jelent az inverz függvény? Az f függvény inverze az f -1 ha az f értelmezési tartományának minden x elemére igaz, hogy f(x) eleme a f -1 értelmezési tartományának és f -1 (f(x)) = x. Ha az f és az f -1 függvények egymásnak inverzei, akkor az f értelmezési tartománya az f -1 értékkészlete, az f értékkészlete azf -1 értelmezési tartománya. Az f és az f -1 akkor grafikonjai tengelyesen tükrösek az y = x egyenletű egyenesre nézve. Megnézünk néhány példát az inverz függvényre a videón. Például inverze egymásnak a négyzetgyök függvény és az x2 függvény a megfelelő értelmezési tartomány mellett, vagy az f(x) = 3x és az 1/3 x is. Algebrai úton általában könnyen megkaphatjuk egy függvény inverzének hozzárendelési szabályát. Kitérünk még arra is, hogy az exponenciális és logaritmusos kifejezésekkel hol találkozhatunk, illetve az exponenciális, logaritmusos egyenletek megoldása milyen hétköznapi, v. műszaki problémák megoldásánál fontos. Említünk matematikatörténeti vonatkozásokat is.

  b) 7. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

  Tananyag   | Kezdés »

  7. tétel: Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek. Másodfokúra visszavezethető egyenletek. Egyenletek ekvivalenciája, gyökvesztés, hamis gyök, ellenőrzés. Megmutatjuk a teljes kidolgozott tételt, úgy, ahogyan a vizsgán elmondhatod. Közben látni fogod, hogy mit érdemes a táblára írni. A videó második felében segítünk, hogy gyorsan meg is tudd tanulni a tételt. Mi az egyenlet, mit jelent az egyenlet alaphalmaza, értelmezési tartománya, illetve az egyenlet megoldásai? Ha két algebrai kifejezést egyenlőségjellel kapcsolunk össze, egyenletet kapunk. Az egyenlet leírásában egy vagy több változó szerepel. Az egyenlet megoldása során a változónak vagy változóknak azokat az értékeit keressük meg, amelyekre az egyenlet igaz logikai értéket vesz fel. Ez(ek) az egyenlet megoldásai vagy gyökei Minden egyenletnek van egy alaphalmaza, és ennek egy részhalmaza az értelmezési tartomány. Az értelmezési tartomány az alaphalmaznak azon legbővebb részhalmaza, amelyen az egyenletben szereplő összes algebrai kifejezés értelmezve van. Amennyiben nem adunk meg mást, a valós számok halmazát tekintjük alaphalmaznak. Ha az értelmezési tartomány minden elemére igaz lesz az egyenlet, akkor azt mondjuk, hogy az az egyenlet azonosság. Ha egyetlen értelmezési tartománybeli elemre sem igaz az egyenlet, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Egy másik megközelítés szerint az egyenlet mindkét oldala egy-egy függvény hozzárendelési szabálya. Az egyenlet megoldása során pedig azokat az értelmezéstartománybeli -eket keressük, amelyekre a két függvény felvett függvényértéke megegyezik. Amennyiben grafikus úton oldjuk meg az egyenletet, a két függvény metszéspontjának vagy metszéspontjainak koordinátája lesz a keresett megoldás. Melyek a másodfokú egyenletek, és hogyan oldjuk meg őket? A másodfokú egyenletek kanonikus, vagy nullára rendezett alakja: ax2 + bx + c = 0 alakú, ahol a, b és c valós paraméterek. Ők az úgynevezett együtthatók, x pedig a változó. Az a értéke nem lehet 0, hiszen akkor nem lenne x2 -es tag, tehát az egyenlet nem lenne másodfokú. Tétel: ax2 + bx + c = 0 alakú, (a nem 0) másodfokú egyenlet megoldásait az x1,2 =…. (másodfokú egyenlet megoldóképlete) képlettel kaphatjuk meg. A bizonyítás lépéseit a videón láthatod. A másodfokú egyenlet megoldásainak a száma a diszkriminánstól függ. A diszkrimináns a megoldóképletben a gyök alatt látható kifejezés. Ha D < 0, nincs valós gyök, ha D = 0, két egybeeső valós gyök van, ha D > 0, két különböző valós gyök van. Feladat: x2 + 6x + 8 = 0 egyenletet megoldjuk a megoldóképlettel. Hogyan kell megoldani paraméteres másodfokú egyenleteket? Paraméteres másodfokú egyenletek esetén gyakran a paramétert a gyökök számára vagy tulajdonságára megadott adat alapján kell meghatározni. Példa: px2 + 4x + p = 0 egyenletben p a paraméter, x az ismeretlen. Ha pl. az a kérdés, hogy a p paraméter milyen értékei mellett lesz egy megoldása ennek az egyenletnek, akkor ezt a diszkrimináns vizsgálatával lehet megválaszolni. D = 0 -ból kapunk p-re egy összefüggést, annak a megoldásait kell keresni. Gyökök és együtthatók közötti összefüggések felírása, gyöktényezős alak, Viete-formulák. Ha az ax2 + bx + c = 0 másodfokú egyenletnek létezik valós gyöke, akkor a másodfokú kifejezés elsőfokú tényezők szorzatára bontható a gyöktényezős alak segítségével. ax2 + bx + c = a ( x - x1 )( x - x2 ) A Viete-formulák a gyökök és együtthatók közt teremtenek kapcsolatot: x1 + x2 = -b/a ; és x1*x2 = c/a A Viete-formulákat és a gyöktényezős alakot is könnyen igazolhatjuk, ha az x1 -re és x2 -re kapott megoldóképletet behelyettesítjük az összefüggésekbe. A Viete-formulák és a gyöktényezős alak is számos feladat megoldását könnyíti meg. Például nem negatív diszkrimináns esetén szorzat alakba tudjuk írni a másodfokú számlálót vagy nevezőt, így egyszerűsíteni tudunk az azonos tényezőkkel. A másodfokú egyenlőtlenség megoldásának lépései. Ha másodfokú egyenlőtlenséget akarunk megoldani, akkor általában grafikus módon fejezzük be a feladatmegoldást, miután a megoldóképlettel a gyököket meghatároztuk. A másodfokú hozzárendelés képe parabola, a kiszámított gyökök a parabola zérushelyei. Két egybeeső valós gyök esetén a parabola érinti az x tengelyt, ha nincs valós gyök, akkor pedig a másodfokú kifejezés minden x-re pozitív vagy minden x-re negatív értéket vesz fel. A parabola ábrázolása után az egyenlőtlenség megoldásai leolvashatók a garfikonról. Melyek a másodfokúra visszavezethető egyenletek és hogyan oldjunk meg őket? Ha egy kifejezés és ugyanannak a kifejezésnek a négyzete szerepel az egyenletben, akkor az adott kifejezésre érdemes új ismeretlent bevezetünk. Mert így az új ismeretlenre nézve lesz másodfokú az egyenlet vagy az egyenlőtlenség. Ezek az egyenletek, egyenlőtlenségek eredeti formájukban lehetnek például magasabb fokúak, logaritmusosok, trigonometrikusak vagy akár összetettebb algebrai kifejezésre nézve másodfokúak. Megnézünk néhány példát is. Mikor ekvivalens az egyenlet átalakítása? Mikor fordulhat elő gyökvesztés illetve hamis gyök? Miért és mikor kell ellenőrizni az egyenlet megoldását? Nagyon fontos, hogy az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásánál mindig figyeljük, hogy ekvivalens, vagy nem ekvivalens a végrehajtott lépés, vagyis azt, hogy a lépések következtében az újabb és újabb egyenlet ekvivalens-e az előző lépésben szereplő egyenlettel. Két egyenlet akkor ugyanaz, ha értelmezési tartomány a és megoldáshalmaza is ugyanaz. Ekvivalens átalakításokra és nem ekvivalensekre is mutatunk példákat. Ha az átalakítás során megváltozik az egyenlet értelmezési tartománya, gyököt veszíthetünk, de akár hamis gyökök is jöhetnek be. A hamis gyököket lehet kizárni ellenőrzéssel. A másodfokú egyenletek, összefüggések alkalmazására mutatunk példákat a tétel végén.

  c) 8. A leíró statisztika jellemzői ...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A leíró statisztika jellemzői, diagramok. Nevezetes középértékek.

  d) 9. Függvénytani alapismeretek ...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Függvénytani alapismeretek, függvények tulajdonságai, határérték, folytonosság. Számsorozatok. A számtani sorozat, az első n tag összege.

  e) 10. Mértani sorozat ...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  10. tétel: Mértani sorozat, az első n tag összege, végtelen mértani sor. Kamatszámítás, gyűjtőjáradék, törlesztőrészlet. Exponenciális folyamatok a társadalomban és a természetben. Egy kész szóbeli feleletet fogsz hallani, és látni fogod, amit érdemes neked is felírnod a táblára a vizsgán. Az anyag második felében pedig segítünk mindezt megtanulni. Milyen sorozat a mértani sorozat, és hogyan kell kiszámolni az első n tag összegét? Azokat a számsorozatokat, amelyekben az egymást követő tagok hányadosa állandó, mértani sorozatnak nevezzük. Ez az állandó a mértani sorozat hányadosa, amit idegen szóval kvóciensnek mondunk. Ez a definíció kizárja azt, hogy a sorozat bármely tagja, illetve kvóciense 0 legyen. Ha mértani sorozat első tagja a1, hányadosa q, akkor az n. tagot úgy számolhatjuk, hogy az első tagot megszorozzuk a kvóciens n-1. hatványával. Azt a tételt bizonyítjuk a videón, amelyik a mértani sorozat első n tagjának összegére vonatkozik. A mértani sorozat fogalmát már az ókori egyiptomiak is ismerték, és összegük is érdekelte őket. Konkrét feladatok esetén ki is tudták számolni az összeget, erről tanúskodik Rhind-papirusz ami i. e. 1750 körül íródott. Mi a különbség a mértani sor és a mértani sorozat között? A mértani sor egy végtelen összeg. A szumma i megy 1-től végtelenig a1 szer qi-1 -en úgynevezett végtelen összeget végtelen mértani sornak nevezzük. Ha ennek a végtelen összegnek létezik határértéke, és az véges, akkor azt a végtelen mértani sor összegének nevezzük, és S-sel jelöljük. Tétel mondja ki, hogy ha a a mértani sorozat első tagja a1, és hányadosa abszolútértéke kisebb, mint 1, akkor az összege úgy számolható, hogy a1/(1-q). A végtelen mértani sor összegképletének felhasználásával tudjuk például a végtelen szakaszos tizedes törteket két egész szám hányadosaként felírni A kamatszámítás kapcsolatban van a mértani sorozatokkal. Ha egy pénzösszeget, azaz betétet egy bankban elhelyezünk, akkor a bank a pénzünk használatáért a betétünkre bizonyos kamatot ad. A kamat és a betét százalékban kifejezett hányadosát kamatlábnak nevezzük. Hasonlóan, ha a bank pénzét használjuk, akkor ezért a felvett hitelért bizonyos ellenszolgáltatást kell nyújtanunk. Matematika feladatokban azzal a feltevéssel élünk, hogy a futamidő alatt a kamatláb mértéke állandó. Egyszerű kamatozás során a kiinduló összeg, azaz az alaptőke bizonyos százalékban kifejezett hányadát szabályos időközönként hozzáadják a tőkéhez. Ezt a százalékot kamatlábnak nevezzük. De számolhatunk kamattényezővel, q-val is, ami a kamatláb 100-ad részével tér el az 1-től: értéknövekedés esetén q=1+p/100, értékcsökkenés esetén q=1-p/100. Kamatos kamatról akkor beszélünk, ha a kamatozási időszak végén a kamatot hozzáadják a tőkéhez, és utána ez a megnövekedett érték kamatozik. A kamatos kamat számítása a mértani sorozat alkalmazásának olyan speciális esete, amikor a sorozatnak van nulladik tagja, amit a pénzügyi számításokban A-val jelölünk. Ha egy A összeg p%-kal kamatozik évente, akkor az n-edik év végére kiszámolható, hogy menyni az értéke. Ha ezt a kamattényezővel fejezzük ki, amit q-val jelöljük, ekkor az An=A*qn -nel. Ez egy olyan mértani sorozat n. eleme, amelynek első eleme Aq, hányadosa pedig q. Az An összefüggésében négy mennyiség szerepel, közülük bármely hármat ismerve a negyedik kiszámolható. Mi a gyűjtőjáradék, és hogyan lehet kiszámolni? Gyűjtőjáradékról akkor beszélünk, ha egy alapösszeget egyenlő időközönként ugyanakkora összeggel növelünk, vagyis egyenlő időközönként azonos összeget elhelyezünk a bankban ugyanazon a számlán. Gyűjtjük a pénzt, és minden betett összegünk kamatos kamattal kamatozik. A gyűjtőjáradék számítása úgy zajlik, hogy minden év elején egy a összeget teszünk a bankba, és ez p%-kal kamatozik évente úgy, hogy a következő év elején a megnövekedett összeghez tesszük hozzá az újabbat. Ha a kamattényező q=1+p/100, akkor az n. év végén a vagyonunk egy olyan mértani sorozat elsőn n elemének az összege, ahol a1=aq. Ezt felhasználva n. év végére a gyűjtött vagyonunk kiszámolható. Hogyan kell törlesztőrészletet számolni? Egy mindennapokban gyakran használt fogalommal folytatnám a feleletet. Törlesztőrészletről akkor beszélünk, ha egy hitelt egyenlő időközönként ugyanakkora összeggel fizetünk vissza, azaz egyenlő időközönként azonos összeggel csökkentjük a tartozásunkat, vagyis törlesztjük a hitelt, minden befizetett összeg után csak a fennálló tartozásra fizetünk kamatos kamatot. Hogyan kell törlesztőrészletet számítani? Felveszünk n évre Sn nagyságú hitelt évi p%-os kamatra, és minden évben „a” összeget törlesztünk. A törlesztés mindig az év végén történik, a kamatszámítás után, minden évben azonos a összegekkel. A tartozásunkra így felírható a képlet. A felvett Sn-hitel kamatozik a kamattényezővel, majd ebből levonunk a-t, hiszen azt törlesztjük az adott évben. A zárójelek közepébe írtam, hogy a felvett hitel kamatozik, ezt jelenti az Sn*q. Ebből törlesztünk, azaz levonunk a tartozásunkból a-t. Ezután ez kamatozik és ebből vonunk le megint a-t. Az utolsó év végén a fennálló tartozásunk kamatozik még egyet, ekkor a tartozásunk éppen a lesz, amit törlesztünk is. Ezután a fennálló tartozásunk 0 forint lesz. (… (((Snq-a) q-a)q-a)) q-a=0 Ebből az összefüggésből az a törlesztőrészlet meghatározható. A tételben kifejtésében még beszélünk az exponenciális folyamatokról a társadalomban és a természetben.

• 03. Tételek: 11-15.

  a) 11. A differenciálhányados fogalma ...

  Tananyag   | Kezdés »

  A differenciálhányados fogalma, deriválási szabályok. A differenciálszámítás alkalmazásai (érintő, függvényvizsgálat, szélsőértékfeladatok).

  b) 12. Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek ...

  Tananyag   | Kezdés »

  Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek. A hegyesszögek szögfüggvényei. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között. A szögfüggvények általánosítása.

  c) 13. Háromszögek nevezetes vonalai ...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei.

  d) 14. Összefüggések az általános háromszögek ...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Összefüggések az általános háromszögek oldalai között, szögei között, oldalai és szögei között.

  e) 15. Egybevágósági transzformációk ...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Egybevágósági transzformációk, alakzatok egybevágósága. Szimmetria. Hasonlósági transzformációk. Hasonló síkidomok kerülete, területe, hasonló testek felszíne, térfogata. A hasonlóság alkalmazása síkgeometriai tételek bizonyításában.

• 04. Tételek: 16-20.

  a) 16. Konvex sokszögek tulajdonságai ...

  Tananyag   | Kezdés »

  Konvex sokszögek tulajdonságai. Szabályos sokszögek. Gráfok.

  b) 17. A kör és részei ...

  Tananyag   | Kezdés »

  A kör és részei. Kerületi szög, középponti szög, látószög. Húrnégyszögek, érintőnégyszögek.

  c) 18. Vektorok, vektorműveletek ...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  18. tétel: Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbontási tétel. Vektorok koordinátái. Skaláris szorzat. A kidolgozott tételt fogod látni/ hallani a videón úgy, ahogyan azt a vizsgán is egy az egyben elmondhatod. Azokat érdemes felírni a táblára, amit a videón látsz kékkel. A videó 2. felében segítünk megtanulni is a tételt. Mit kell tudni a vektorokról? Az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. A szakasz azért irányított, mert van kezdőpontja és végpontja. Ez egy szemléletes megoldás, a vektor alapfogalom, nem definiáljuk. Egy vektort két mennyiséggel lehet jellemezni, a hosszával és az irányával. A vektor abszolútértéke definíció szerint a vektort meghatározó irányított szakasz hosszát jelenti. A nulla hosszúságú vektort nullvektornak nevezzük. Ennek a vektornak az iránya tetszőleges. A tetszőleges irány annyit tesz, hogy mindig annyi, amennyi szükséges: a nullvektor lehet párhuzamos és merőleges is egy másik vektorhoz viszonyítva. Két nem nullvektor szöge 0°, ha egyirányúak, 180° ha ellentétes irányúak, más esetben a két vektor iránya által meghatározott két szög közül a kisebb. Milyen műveleteket végezhetünk vektorokkal, és hogyan? A vektorok között műveleteket értelmezünk. a és b vektor összege annak az eltolásnak a vektora, amellyel helyettesíthető az a vektorral és a b vektorral történő eltolások egymásutánja. A vektorösszeadás kommutatív és asszociatív művelet. Középiskolában vektorok összeadására a háromszög szabályt és a paralelogramma szabályt használtuk. Az a és b vektor különbségén azt a c vektort értjük, amelyre a = b + c teljesül. Ezzel ekvivalens az a definíció, hogy az a-hoz hozzáadjuk a b ellentettjét. Most ismertetem a vektor skalárral való szorzását. Egy nullvektortól különböző a vektor tetszőleges alfa valós számmal, azaz skalárral vett szorzata egy olyan vektor, amelynek abszolút értéke alfa*|a|; Az irána alfa > 0 esetén az a vektorral egyirányú; alfa

  d) 19. Szakaszok és egyenesek a koordinátasíkon ...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Szakaszok és egyenesek a koordinátasíkon. Párhuzamos és merőleges egyenesek. Elsőfokú egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek grafikus megoldása.

  e) 20. A kör és a parabola

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  20. tétel: A kör és a parabola elemi úton és a koordinátasíkon. Kör és egyenes, parabola és egyenes kölcsönös helyzete. Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Megmutatjuk a teljes kidolgozott tételt, úgy, ahogyan a vizsgán pl. el lehet mondani. A videóban kék színnel írtuk azt, amit mindenképp javaslunk, hogy te is írd fel a táblára a vizsgán. Nézzük tehát a tételt. Feleletemben a kört és a parabolát mutatom be elemi úton és a koordináta síkon. Kitérek a kör és egyenes, valamint a parabola és egyenes kölcsönös helyzetére is. Végül másodfokú egyenletek grafikus megoldásáról fogok beszélni és kitérek néhány matematikatörténeti vonatkozásra is. A kör az elemi és a koordinátageomatriában. Definíció: A kör azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól egyenlő távolságra helyezkednek el. Az adott pontot a kör középpontjának, az adott távolságot pedig a kör sugarának hívjuk. A kört egyértelműen meghatározza a síkon a középpontja és a sugara. Kimondok egy körről szóló tételt: A K(u,v) középpontú, r sugarú kör egyenlete (x-u)2+(y-v)2=r2. A kör egyenlete kétismeretlenes másodfokú egyenlet, ami átírva x2+y2-2ux-2vy+u2+v2-r2=0 alakú. Ezt egyszerűbben jelölve úgy is leírhatjuk, hogy x2+y2+Ax+By+C=0 Az ilyen alakban felírt kétismeretlenes másodfokú egyenlet akkor köregyenlet, ha A2+B2-4C pozitív. Matematikatörténet: Descartes- i vonatkozásokat érdemes itt elmesélni. Mit kell tudni a paraboláról? Definíciója: A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott egyenesétől és egy adott, az egyenesre nem illeszkedő pontjától ugyanolyan távolságra vannak. Az adott egyenest a parabola vezéregyenesnek, az adott pontot a parabola fókuszpontjának hívjuk. A vezéregyenes és a fókuszpont távolságát paraméternek hívjuk, és p-vel jelöljük. Minden parabolának van tengelye, ez egy fókuszpontra illeszkedő egyenes, ami merőleges a vezéregyenesre. A parabola tengelyen lévő pontját tengelypontnak nevezzük. Ez éppen a fókuszpontot és a vezéregyenest összekötő szakasz felezőpontja. Ebben a pontban van a parabola csúcsa. Tétel: az F(0;p/2) fókuszpontú y=-p/2 vezéregyenesű parabola egyenlete: y =1/2p *x2. A tételt a videóban bizonyítjuk. Ha a tengelypont nem az origóban van, hanem egy tetszőleges T(u;v) pontban, akkor a parabola egyenlete y=1/2p*(x-u)2+v alakban írható fel. Ha a parabola ellenkező irányban nyílik, akkor az 1/2p tört elé egy mínusz jelet kell írni. Minden másodfokú függvény grafikonja az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola, és minden y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola valamelyik másodfokú függvény grafikonja. Alkalmazás pl. parabolaantenna. Elmondjuk a működésének lényegét. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. Most áttérnék a kör és egyenes kölcsönös helyzetének a tárgyalására. A síkban egy körnek és egy egyenesnek kettő, egy vagy nulla közös pontja lehet. A közös pontokat, azaz a metszéspontokat a kör és egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer segítségével adhatjuk meg. A helyzetük többféle lehet: lehet két közös metszéspont – ez egy szelőt határoz meg, ha egy közös pont van, akkor az egyenes érintője a körnek, ha nincs közös metszéspont, akkor az egyenes a körön kívül halad. Parabola és egyenes kölcsönös helyzete. Egy parabolának és egy egyenesnek is 2, 1 vagy 0 közös pontja lehet. Ebben az esetben is egy két egyenletből álló két ismeretlenes egyenletrendszert kell megoldani, hogy megkapjuk hány metszéspont van. Fontos kiemelni, hogy ha 1 metszéspont van, akkor nem feltétlenül érintője az egyenes a parabolának, mert ha az egyenes párhuzamos a parabola tengelyével, akkor ő egy átmetsző egyenes. A parabola érintője olyan egyenes, ami nem párhuzamos a parabola tengelyével, és egy metszéspontja van a parabolával. Ha tudjuk, hogy az egyenes az A(x0;y0) pontban érinti a parabolát, akkor meg tudjuk adni az érintő egyenes egyenletét deriválással. A deriváltfüggvényben az x=x0 helyen felvett helyettesítési érték adja meg az érintő meredekségét. A meredekség és az A pont ismeretében fel tudjuk írni az érintő iránytényezős egyenletét. Koordináta-geometria alkalmazható geometriai feladatok megoldásában. Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása. A grafikus megoldásnál azt használjuk fel, hogy a másodfokú kifejezések képe parabola. Akárcsak a másodfokú egyenletnél, az egyenlőtlenségnél is nullára rendezünk, majd a bal oldalon álló kifejezés által meghatározott függvényt ábrázoljuk. Az egyenlőtlenség megoldása a grafikonról leolvasható, a videón részletezzük, hogyan. Néhány fizikai alkalmazást említünk a végén a csillagászat, a tükrök, mozgáspályák, építészet (statika) területéről. A tétel megtanulását is segítjük, hogy a szakzsargon ne okozzon gondot, könnyebben memorizálni tudd a definíciókat, tételeket.

• 05. Tételek: 21-25.

  a) 21. Térelemek távolsága és szöge ...

  Tananyag   | Kezdés »

  21. tétel: Térelemek távolsága és szöge. Térbeli alakzatok. Felszín- és térfogatszámítás. A videóban látni és hallani fogsz egy kidolgozott, ötös feleletet ebből a tételből. Kékkel mutatjuk azokat, amiket felelet közben felírnánk a táblára. A végén pedig segítünk megtanulni a tételt. Mik azok a térelemek, és mit jelent a távolságuk? A pont, egyenes és sík azok az alapfogalmak, amiket együtt térelemeknek nevezünk. Két térelem illeszkedő, ha egyik részhalmaza a másiknak. Megmutatjuk, mikor illeszkedik egy pont egy egyenesre; egy félegyenes egy egyenesre, illetve egy egyenes egy síkra. Két egyenest metszőnek nevezünk, ha pontosan egy közös pontjuk van. Két egyenes párhuzamos, ha van olyan sík, amelyre mindkettő illeszkedik, de nem metszik egymást. Két egyenest kitérőnek hívunk, ha nincs olyan sík, amelyre mindkettő illeszkedik. Két síkot metszőnek nevezünk, ha pontosan egy közös egyenesük van. Két síkot párhuzamosnak nevezünk, ha nem metszik egymást. Egy egyenest és egy síkot metszőnek nevezünk, ha pontosan egy közös pontjuk van. Egy egyenest és egy síkot párhuzamosnak nevezünk, ha nincs közös pontjuk. Két illeszkedő vagy metsző térelem távolsága 0. A továbbiakban végigvesszük két pont távolságát, pont és egyenes, pont és sík távolságát; majd a különböző helyzetű egyenesek távolságát. Síkok távolságának eseteivel és egyenes és sík távolságának eseteivel is részletesen foglalkozunk. A térelemek szögét hogyan határozhatjuk meg? Egy síkban ugyanabból a pontból kiinduló félegyenest és az általuk meghatározott bármelyik síkrészt szögnek nevezzük. A szög szárai a félegyenesek, a síkrész pedig a szögtartomány. Illeszkedő vagy párhuzamos térelemek szöge 0°. Egyenesek hajlásszöge: Két metsző egyenes 4 szöget határoz meg melyek közül 2-2 egyenlő nagyságú. Ha a két egyenes merőleges egymásra, akkor az általuk bezárt szög 90°. Ha a két egyenes nem merőleges egymásra, akkor az általuk bezárt szög, azaz a két egyenes hajlásszöge a két fajta szög közül a kisebbik. Összességében elmondhatjuk, hogy két egyenes hajlásszöge sosem nagyobb 90°-nál. Két kitérő egyenes hajlásszöge megegyezik a tér bármely pontján átmenő és az adott egyenessekkel párhuzamos egyenesek hajlásszögével. Sík és egyenes hajlásszöge: Ha az e egyenes metszi az S síkot, akkor az egyenes merőleges vetülete a síkon szintén egy egyenes, ezt jelöltem e’-vel. Ilyenkor a sík és egyenes hajlásszöge e és e’ egyenesek hajlásszöge. Megjegyezném, hogy ez a szög a legkisebb a sík egyenesei és az egyenes által bezárt szögek között. Két sík hajlásszöge: Ha két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy pontjában mindkét síkban merõlegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge e két egyenes hajlásszögével egyenlõ. Ez a szög a pont megválasztásától független. Mit nevezünk testnek a geometriában, és milyen speciális testekről tanultunk? A térnek véges felületekkel határolt részét testnek nevezzük. A sokszöglapokkal határolt testek a poliéderek. Például a kocka, vagy a gúla. A szabályos testekre is külön kitérünk a tételben. Definiáljuk a hengerszerű testeket, majd a hengert és a hasábot. A hengerszerű testeken kívül vannak még kúpszerű testek. Definiáljuk még a kúpot és a gúlát, az egyenes kúpot, ill. az egyenes gúlát. A csonkakúpszerű testekről is beszélünk. A térbeli alakzatok kapcsán az utolsó definíció a gömbfelületé. Miket kell elmondani a testek felszínéről? A poliéder felszíne az őt határoló véges számú sokszöglap területének az összege, amit A betűvel jelölünk. Nem poliéderek esetén, ha a test felülete síkba kiteríthető, akkor ennek a területe adja a sík felszínét. Ha a testnek van síkba ki nem teríthető felülete is (például félgömb), akkor ezek felszínét a beírt és köré írt poliéderek felszínének (megegyező) határértékeként értelmezzük. Forgástestek felszínét integrálszámítással is meg tudjuk határozni. A leggyakrabban használt felszín képletek közül néhányat ismertetünk. Mit kell tudni emelt szinten a testek tréfogatáról? A poliéder térfogata egy, a poliéderre jellemző szám, amely a következő 3 tulajdonsággal rendelkezik: Az egységkocka térfogata 1. Az egybevágó poliéderek térfogata egyenlő. A harmadik tulajdonság pedig, ha egy poliédert részpoliéderekre vágunk szét, akkor a részek térfogatának összege egyenlő az egész poliéder térfogatával. Ismertetünk néhány poliéder térfogatának kiszámolásához szükséges képleteket is a tétel kifejtése közben. Eukleidész az Elemek című művében a geometriát axiomatikusan építette fel, azaz a szemléletre hagyatkozva alapfogalmakat, azaz axiómákat határozott meg, és ezek segítségével bizonyított állításokat. A hasábok, gúlák, gömb térfogatának vizsgálatára a kimerítés módszerét (beírt és körülírt hasábok térfogatával való közelítést) használta. Vizsgálta az öt szabályos testet, meghatározta térfogatukat, bebizonyította, hogy csak öt szabályos test létezik. Forgástestek térfogatát az analízis módszereivel tudjuk meghatározni. Ezek kiszámításáról szól a következő tétel. Ha f(x) függvény az [a;b] intervallumon folytonos és f(x) nem negatív, akkor az f(x) függvény grafikonjának az x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest térfogata kiszámolható a függvény négyzetének integrálásával, a videóban részletezett módon. Ennek segítségével bizonyítható pl. a gömb térfogatának képlete. Még egy tételt érdemes említeni a térfogatokkal kapcsolatban: Hasonló testek térfogatának aránya megegyezik a hasonlóság arányának köbével. Ezeket a geometriai ismereteket alkalmazzák a térképészetben és földmérésben távolság- és szögmérésre. Az építészmérnöki munkában, fizika feladatok megoldása során.

  b) 22. Területszámítás és integrálás ...

  Tananyag   | Kezdés »

  22. Tétel: Területszámítás elemi úton és az integrálszámítás felhasználásával. A tétel kifejtésében a területszámításról fogunk beszélni. Először elemi úton vizsgáljuk meg a témát, síkgeomatriai alakzatok területét részletezzük, majd áttérünk az integrálszámítás felhasználására. A tételt hallani fogod, és látni azt, amit közben érdemes a táblára írnod. Hogyan lehet definiálni egy alakzat területét? A területet úgy értelmezzük, mint egy függvényt, ahol minden síkidomhoz hozzárendelünk egy pozitív számot 3 tulajdonsággal. Ezek a következők: Az egységnégyzet területe 1. Az egybevágó sokszögek területe egyenlő. A 3. tulajdonság pedig úgy szól, hogy ha egy sokszöget feldarabolunk részsokszögekre, akkor a részek területének összege a sokszög területével egyenlő. Hogyan számoljuk ki különböző sokszögek területét? A sokszögek esetén a terület nagyságának meghatározása az egységnyi területtel való összevetés alapján történik. Ezt a szerepet tölti be az egységnégyzet. Nézzük át néhány speciális sokszög területének kiszámítási módját! A téglalap területe két szomszédos oldalának szorzatával egyenlő. A paralelogramma területe az egyik alap és a hozzátartozó magasság szorzata. Részletezzük a háromszög területének képletét, a trapéz területének kiszámítását. Mivel minden sokszög véges számú háromszögre darabolható, ezért a sokszög területe egyenlő a háromszögek területösszegével. A háromszög területének kiszámítására sok képlet van, ezek közül felírtam a leggyakrabban használtakat. Ezekben a képletekben s a félkerület, az r a beírt kör sugara, R pedig a háromszög körülírt körének a sugara. Azt a tételt bizonyítjuk, hogy átalános négyszög területét úgy számíthatjuk ki, hogy az átlók hosszát megszorozzuk a közre zárt szögük szinuszával, és ezt a szorzatot osztjuk kettővel. A bizonyítást a videón részletezzük. Szabályos sokszögek területét úgy kapjuk meg, hogy a középpontjukat összekötjük a csúcsokkal és így n db egyenlő szárú háromszöget kapunk, ezek területe már a középponti szög és a sugár ismeretében kiszámolható. Kör területének kiszámítása. Tétel: Az r sugarú kör területe r2pi-vel egyenlő. Mi a kapcsolat a területszámítás és az integrálszámítás között? A határozott integrállal függvénygörbe vonalával határolt síkidomok területét tudjuk meghatározni. A határozott integrál definíciójához szükségünk van még az intervallum felosztásának a definíciójára. Utána vesszük ennek a felosztásnak egy intervallumát, például az [xi-1;xi] zárt intervallumot. Kis mi legyen az f függvénynek ebben az intervallumban felvett értékeinek alsó határa, nagy Mi pedig a felső határa. Korlátos függvényeknél bizonyítható, hogy ezek az értékek léteznek. Az [xi-1;xi] intervallum fölé téglalapokat szerkesztünk, kettő darabot, kis mi, illetve nagy Mi magassággal. Ha ezt a felosztás összes intervallumában elvégezzük, megkapjuk a vizsgált tartomány egy körülírt és egy beírt sokszögét. Ezeknek a sokszögeknek vizsgáljuk meg a területét. A beírt sokszög területét alsó közelítő összegnek hívjuk, a körülírt sokszög területét pedig felső közelítő összegnek hívjuk. A felosztást finomíthatjuk. Így végtelen sok alsó és felső összeg keletkezik, amelyekről elmondható, hogy semelyik alsó összeg nem lehet nagyobb semelyik felső összegnél. Most már tudjuk definiálni a határozott integrált: Az [a; b] intervallumon korlátos, f függvény integrálható, ha bármely, minden határon túl finomodó felosztássorozatához tartozó alsó és felső összegei sorozatának közös határértéke van. Ezt a közös határértéket nevezzük az f függvény [a; b] intervallumon vett határozott integráljának. Két függvény által közrezárt síkidom területe is kiszámolható a határozott integrállal. Ha f(x)>g(x), akkor az f és g függvények görbéi által közrezárt síkidom területe az f – g függvény integrálásával számolható. A tételt matematika-történeti vonatkozások és gyakorlati alkalmazáshoz kapcsolódó példák zárják. A tétel végén pedig segítünk megtanulni is a tételt, gyakorolhatsz a saját tempódban.

  c) 23. Kombinációk, binom. tétel...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  23. tétel: Kombinációk. Binomiális tétel, a Pascal-háromszög. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. A hipergeometrikus eloszlás. A tételt kifejtve hallani fogod a videón, és közben megmutatjuk, mit érdemes a táblára írnod az emelt szintű szóbeli felelésnél. A tétel a témája a kombinatorika, és a valószínűségszámítás. Ezek véletlen tömegjelenségek törvényszerűségeivel foglalkoznak. Mik azok a kombinációk, és hogyan lehet kiszámolni őket? n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációi: Legyen n egymástól különböző elemünk. Ha ezekből k darabot kiválasztunk minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációit kapjuk. Azt a tételt bizonyítjuk, hogy az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak a számát az n alatt a k binomiális együttható adja meg. A binomiális együtthatók kiszámításának a módját is megnézzük a videón, és részletezzük a bizonyítást. Az ismétléses kombináció definíciója így szól: Ha n különböző elemből kell k db-ot kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít, és a már kiválasztott elemeket újra kiválaszthatjuk, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Tétel mondja ki ezek számát, ez pedig éppen n+k-1 alatt a k. Miről szól a binomiális tétel? Egy kéttagú összeg hatványozására ad összefüggést a binomiális tétel: egy kéttagú összeget úgy is n-edik hatványra emelhetünk, hogy összeadjuk a két tag összes olyan hatványának szorzatát, melyben a hatványok kitevőinek összege a kéttagú összeg kitevője, azaz n. Ezt megszorozzuk egy binomiális együtthatóval, mégpedig a Pascal-háromszög n-edik sorának annyiadik elemével, ahányadaik hatványon az első tag áll a szorzatokban Fontos megemlíteni, hogy a Pascal-háromszögben a sorok és a sorok elemeinek számozását is a 0-tól kezdjük. Milyen tulajdonságai vannak a binomiális együtthatóknak? A binomiális együttható két tulajdonságát ismertetem most: Mivel 0! definíció szerint 1-el egyenlő, ezért n alatt a 0 és n alatt az n is 1-gyel egy. A második tulajdonság, hogy az n elem közül k darabot és n-k darabot is ugyanannyi-féleképpen lehet kiválasztani. Tehát n alatt a k és n alatt az n-k egyenlők. Az eddig ismertetett definíciók és tételek segítségével megoldhatunk olyan kiválasztási problémákat, mint például hogy hányféleképp lehet kitölteni egy ötöslottó szelvényt. Vagy például ki tudjuk számolni, hogy egy n elemű halmaznak hány darab k elemű részhalmaza van. Mi a Pascal háromszög? Hogyan számíthatjuk ki az elemeit? A Pascal háromszög lényegében a binomiális együtthatók háromszög alakban való elrendezése. Ahogy már említettem a sorok számozása nullával kezdődik. A páros számú és páratlan számú sorokban a számok el vannak csúsztatva egymáshoz képest. A háromszög felírása nem nehéz, az első sorba csupán egy egyest kell írni. A következő sorok felírásánál a szabály a következő: az új számot úgy kapjuk meg, ha összeadjuk a felette balra és felette jobbra található két számot. Az n. sor k. elemének kiszámítására a képletet a háromszög névadója, a francia matematikus Pascal adta meg. A Pascal háromszög n-edik sorában a kéttagú összeg n-edik hatványának együtthatói, azaz a binomiális együtthatók állnak. Mit jelent a valószínűségszámítás kombinatorikai modellje? . A valószínűségszámítás axiómái: 1.) Tetszőleges A esemény valószínűsége nagyobb vagy egyenlő mint 0 és kisebb vagy egyenlő, mint 1. 2.) Biztos esemény valószínűsége 1, lehetetlen esemény valószínűsége 0. 3.) Ha A és B egymást kizáró események, akkor a valószínűség így is számolható: P(A+B) = P(A) + P(B) A esemény valószínűsége és A esemény komplementerének a valószínűsége együtt 1-el egyenlő. Mi a hipergeometrikus eloszlás és hogyan számolhatjuk ki? Most áttérnék a diszkrét eloszlásokon belül a hipergeometrikus eloszláshoz. Ehhez definiáljuk először a valószínűségi változót, majd a hipergeometrikus eloszlást, és elmondjuk annak jellemzőit, és megmutatjuk a kiszámításának módját. A hipergeometrikus eloszlás várható értékét is felírjuk. Matematikatörténeti vonatkozásokra is kitérünk a tétel kifejtése közben.

  d) 24. Permutációk, variációk...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  24. tétel: Permutációk, variációk. A binomiális eloszlás. A valószínűség kiszámításának geometriai modellje. A kidolgozott tételt látod-hallod a videón, pontosabban azt látod, amit a vizsgán érdemes felírnod a táblára. Az előző tételhez hasonlóan itt is kombinatorikai és valószínűségszámítási ismereteket kell bemutatni. Mi az a permutáció, milyen feladatokhoz kapcsolódik, hogyan kell kiszámolni? Mi a különbség az ismétlés nélküli és az ismétléses permutáció között? Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését, azaz sorrendjét értjük. Tétel: Egy n elemű halmaz ismétlés nélküli permutációinak száma n faktoriálissal egyenlő. Bizonyítás: Az n db hely közül az első helyre n féle elem közül választhatok, ezért a lehetőségek száma n. A második helyre már csak (n-1) elem közül tudok választani, hiszen az első helyre már választottam. Ezt a gondolatmenetet folytatva egyértelmű, hogy az utolsó előtti helyre 2, az utolsó helyre pedig 1-féle elem közül tudok választani. A választások egymástól függetlenek, így a lehetőségek számát össze kell szorozni, így kapunk n!-t. Ha az n elem között van n1, n2, …, nk egymással megegyező, akkor az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Ha n elem között n1, n2, … nk db megegyező van, és n1+n2+…+ nk=n, akkor az ismétléses permutációk számához n!-t osztani kell n1! -sal, n2!-sal, stb… nk!-sal. Mi a variáció, mi a különbség az ismétlés nélküli és az ismétléses variáció között? Hogyan kell kiszámolni a lehetséges variációk számát? Vegyünk n db egymástól különböző elemet. Ha ezekből kiválasztunk k db-ot minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít, akkor az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációját kapjuk. Kikötjük, hogy k kisebb vagy egyenlő, mint n. Azt a tételt bizonyítjuk a videón, hogy az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak száma n!/(n-k)! Definiáljuk az ismétléses variációt: Legyen n db egymástól különböző elemünk. Ha ezekből kiválasztunk k db-ot az összes lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít, és egy elemet többször is választhatunk, akkor az n elem egy k-ad osztályú ismétléses variációját kapjuk. Tétel mondja ki, hogy n elem k-ad osztályú ismétléses variációinak száma nk. Mit jelent a valószínűségi változó? Ehhez először szükséges definiálni a valószínűségi változót. A diszkrét valószínűségi változó az eseménytéren értelmezett valós értékű függvény. Általában kszível, vagy nagy X-szel jelöljük. Ha a valószínűségi változó lehetséges értékeinek száma véges, vagy megszámlálhatóan végtelen, akkor diszkrét valószínűségi változóról beszélünk. Milyen eloszlás a binomiális-eloszlás? A binomiális-eloszlás olyan kísérletnél fordul elő, amelynek csak két kimenetele lehetséges, azaz A esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Azt is mondhatjuk, hogy A esemény bekövetkezése a kedvező eset, ennek a valószínűsége p. A kedvezőtlen esemény valószínűsége, azaz, hogy A esemény nem következik be 1-p. Tétel: Binomiális eloszlásnál, ha a kísérletet n-szer ismételjük, akkor annak a valószínűsége, hogy az A esemény k-szor következik be, úgy adható meg, hogy n alatt a k-szor pk*(1-p)n-k. Itt is ki kell kötni, hogy k kisebb vagy egyenlő, mint n. Megemlíteném, hogy binomiális eloszlásra vezetnek a visszatevéses mintavétel esetei. A binomiális-eloszlás várható értéke könnyen számolható. Az eloszlás két paraméterét n-t és p-t kell összeszorozni. Matematikatörténeti vonatkozásokat is említünk a valószínűségszámítással és kombinatorikával kapcsolatban. Mi a geometriai valószínűség? Hogyan kell kiszámítani? Ha az eseménytér nem megszámlálható halmaz, de mérhető (például van hossza, területe vagy térfogata), az eseményei mérhetők, és valószínűségük egyenesen arányos a méretükkel, akkor ezt az eseményteret geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük. Ekkor az A esemény valószínűsége számítható úgy, hogy az A eseménynek megfelelő részalakzat mértékét elosztjuk a kísérlettel kapcsolatos teljes alakzat mértékével. Ezt általában úgy jelöljük, hogy m/M. Néhány gyakorlati példát sorolunk fel végül a geometriai valószínűség alkalmazására.

  e) 25. Bizonyítási módszerek...

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában. Az utolsó tételt akár viszonylag könnyen meg is úszhatod, és válogathatsz az előző szóbeli tételekből hozzá példákat (ezzel időt spórolhatsz meg.) Mi most megmutatunk Neked másik bizonyításokat is, hogy több bizonyítás lehessen a tarsolyodban, ha szükséged lenne rá. Négyféle bizonyítási módszert használunk középiskolában: a direkt bizonyítást, az indirekt bizonyítást, a teljes indukciót és a skatulya-elvet. Ezeket a módszereket be is mutatjuk tételek bizonyításában. 1. A matematikában leggyakrabban a direkt bizonyítást használjuk. Direkt bizonyításnak nevezzük azt az eljárást, amikor igaz feltételekből például axiómákból vagy korábban bizonyított tételekből, helyes logikai lépések során a bizonyítandó állításhoz jutunk. Thálesz-tételét fogjuk így bizonyítani a videón. A tétel így szól: Ha egy kör egyik átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal átmérővégpontoktól különböző bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. A bizonyításhoz a körben kialakuló egyenlőszárú háromszögeket kell felhasználni. Néhány szögekre vonatkozó összefüggést felírva megkapjuk a bizonyítandó állítást. 2. Hogyan működik az indirekt bizonyítás? Az indirekt módszer két logikai törvényen alapul: minden kijelentés igaz vagy hamis és egy igaz állítás tagadása hamis, és fordítva, hamis kijelentés tagadása igaz. Indirekt bizonyítási módot akkor érdemes választani, ha az állítás tagadása könnyebben kezelhető, mint maga az állítás. A precíz definíció így szól: Indirekt bizonyításnak nevezzük azt az eljárást, amikor feltételezzük a bizonyítandó állítás tagadását, majd helyes logikai lépések során ellentmondásra jutunk. Egy klasszikus, ide tartozó bizonyítás, hogy a gyök kettő irracionális szám (ezt bizonyítjuk a 2. tétel kifejtésekor) Most azonban a Pitagorasz-tétel megfordítását fogjuk bebizonyítani indirekt módon. A Pitagorasz-tétel megfordítása: ha egy háromszögben két oldalhossz négyzetének összege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. A Pitagorasz tételből tudjuk, hogy a2+b2=c2. Indirekten tegyük fel, hogy ez a háromszög nem derékszögű. Rajzolunk egy általános háromszöget, aminek az oldalai a, b és c. Ezután rajzolunk egy derékszögű háromszöget a, b befogókkal, ez lesz az AB’C háromszög. … A folytatásban belátjuk, hogy a két háromszögnek egybevágónak kell lenni. Evvel viszont ellentmondásra jutunk, hiszen az indirekt feltevésben azt mondtuk, hogy a háromszög nem derékszögű. Ezzel bebizonyítottuk a Pitagorasz-tétel megfordítását. 3. Hogyan kell teljes indukciós bizonyítást levezetni? A teljes indukció olyan állítások bizonyítására alkalmas, melyek n pozitív egész számtól függenek. A teljes indukciós eljárás során először bebizonyítjuk az állítást n = 1-re (vagy valamilyen konkrét értékre). Ezután feltételezzük, hogy az állítás igaz n = k-ra, ez az úgynevezett indukciós feltevés. 3. lépésben az indukciós feltevés felhasználásával bebizonyítjuk, hogy az állítás igaz n = (k + 1)-re. Ezzel az állítást minden n pozitív egész számra bizonyítottnak tekintjük Azt a tételt fogom bizonyítani, hogy Ha egy számtani sorozat első tagja a1, különbsége d, akkor a számtani sorozat első n tagjának összege így számolható, ahogy ide felírtam. A 3 lépés: 1.) megvizsgálom, hogy n=1-re teljesül-e az állítás. Ez könnyen belátható, behelyettesítés és egyszerűsítés után megkapom, hogy az első egy tag összege a1. Ez nyilvánvalóan igaz. 2.) Felírjuk az indukciós feltételt, azaz, hogy n=k-ra teljesül az állítás. Az összefüggésbe n helyére k-t írunk. 3. lépés: Be kell látni, hogy n=k+1-re is teljesül az állítás. Ehhez behelyettesítettjük az eredeti képletbe n helyére k+1-et. És az előző (k-ra vonatkozó) összefüggést felhasználva algebrai átalakításokkal ügyesen kihozzuk a k+1-re vonatkozó összefüggést. A teljes indukció első írásos emléke 1575-ből származik: Ekkor bizonyította be a Maurolico olasz matematikus az első n páratlan szám összegére vonatkozó tételt ilyen módon. 4. A skatulya-elv mit jelent? Tétel: Ha n darab tárgyat k darab skatulyában helyezünk el, és n > kp, akkor biztosan lesz legalább egy olyan skatulya, amelyikbe legalább p + 1 tárgy kerül. Azt a tételt bizonyítjuk be skatulyaelvvel, hogy ha p és q pozitív egész számok, akkor a p/q szám tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtelen, de szakaszos tizedes tört. Ha p-t elosztjuk q-val, akkor q féle osztási maradékot kaphatunk. 0-t, 1-t, 2-t és így tovább, egészen q-1-ig. Ezek lesznek a skatulyák, és könnyen belátható, hogy emiatt legfeljebb a q-adik osztásnál már olyan maradékot kapunk, amely korábban már volt, azaz innen ismétlődni fognak a tizedes tört jegyei... A skatulyaelvet Dirichlet (1805–1859) francia matematikus bizonyította be. Gyakorlati alkalmazásként az összes, középiskolában tanult tételt fel lehet hozni, mindegyiket valamelyik fenti módszer segítségével bizonyítottuk. A tétel végén matematikatörténeti vonatkozásokat mutatunk be.