Emelt matematika 12. osztály

Térgeometria (részletesen)

• 01. Bevezető anyagok

  a) Szögfüggvények derékszögű háromszögekben - fogalmak

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A szögfüggvények ismerete nagyon fontos a geometriai számításokban. Derékszögű háromszögek hiányzó adatait a szinusz (sin), koszinusz (cos), tangens (tg), kotangens (ctg) szögfüggvények segítségével könnyedén kiszámíthatjuk. Nézd át mindezt ezen az interaktív oktatóvideón!

  b) Szögfüggvények derékszögű háromszögekben - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gyakorold velünk a sin, cos, tg, ctg szögfüggvények használatát! Megmutatjuk azt is, hogy milyen alakzatokban találkozhatsz derékszögű háromszögekkel.

  c) Szögfüggvények alkalmazása 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ez a videó a szögfüggvények alkalmazásával foglalkozik. Sorra vesszük a nevezetes (30, 45, 60 fokos) szögek szögfüggvényeit. Alkalmazzuk a szögfüggvényeket sík-és térgeometriai feladatokban.

  d) Szögfüggvények alkalmazása 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ez a videó a szögfüggvények alkalmazásával foglalkozik.  Alkalmazzuk a szögfüggvényeket sík-és térgeometriai feladatokban.

  e) Szögfüggvények és alkalmazásuk

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Gyakorold a szögfüggvények alkalmazását! Feladatok, melyek megoldásával letesztelheted mennyire sikerült elsajátítanod a szögfüggvényekről tanultakat. Keresd meg a rajzokon a derékszögű háromszögeket, és írd fel a szögek szögfüggvényeit!

  f) Síkidomok területe, kerülete

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Átismételjük azokat a síkgeometriai ismereteket, amelyekre az érettségin szükséged lesz: Háromszögek területe; Négyszögek (négyzet, téglalap, paralelogramma, trapéz, deltoid, rombusz) területe; A kör és a körcikk területe

• 02. Kocka, téglatest, hasábok, hengerek

  a) Kocka, téglatest jellemzői

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A kocka és a téglatest tulajdonságai; A kocka és a téglatest felszíne, térfogata.

  b) Kocka, téglatest - feladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Feladatok a kocka és téglatest felszínének, térfogatának kiszámításához.

  c) Hasábok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Hasábok, egyenes hasáb tulajdonságai, felszíne, térfogata; Feladatok szabáloys sokszög alapú hasábok felszín és térfogat számításának gyakorlásához

  d) Hasábok - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További feladatok hasábok felszín és térfogat számításának gyakorlásához.

  e) Hasábok felszíne, térfogata

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Hasábok. Tedd próbára a tudásod! Számold ki a téglatest, kocka és különböző alapú hasábok felszínét és térfogatát! Az értékelés után láthatod a részletes megoldásokat.

  f) Hengerek

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az egyenes henger tulajdonságai, felszíne és térfogata; Feladatok a henger alakú testek felszín és térfogat kiszámításának gyakorlásához

  g) Hengerek felszíne, térfogata

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Hengerek. Teszteld a tudásod! Számítsd ki a hengerek felszínét és térfogatát! Az értékelés után láthatod a részletes megoldásokat!

• 03. Gúlák, kúpok, gömb

  a) Gúlák

  Tananyag   | Kezdés »

  A gúla tulajdonságai; felszíne és térfogata; Tetraéder, négyoldalú, ötoldalú gúla; Szabályos gúlák, szabályos testek.

  b) Gúlák - Bevezető feladat

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Gúlákkal kapcsolatos geometriai feladatokat oldunuk meg interaktívan, közösen gondolkodva.

  c) Gúlák - gyakorlás 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Feladatok: Határozd meg a gúla oldallapjainak meredekségét! Mekkora a tetraéder felszíne és térfogata?

  d) Gúlák - gyakorlás 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Feladatok: Mekkora szöget zárnak be a szabályos hatoldalú gúla oldallapjai az alaplappal? Határozd meg a felszínét és térfogatát is!

  e) Kúpok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A kúp tulajdonságai. Hogyan kaphatunk egyenes körkúpot? Megmutatjuk, hogy milyen összefüggések vannak a kúp alkotója, magassága és az alapkör sugara között, megtanuljuk kiszámítani a kúp felszínét, térfogatát és kúp palástjával is megismerkedünk.

  f) Kúpok - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A kúp tulajdonságai. Feladatokkal gyakoroljuk a kúp felszínének és térfogatának kiszámítását.

  g) Csonkagúla, csonkakúp

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A csonkagúla, csonkakúp tulajdonságai felszíne, térfogata; Feladatok a csonkagúla és a csonkakúp térfogat és felszínszámítás gyakorlásához.

  h) Csonkagúla, csonkakúp - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További feladatok a csonkagúla és a csonkakúp térfogat és felszínszámítás gyakorlásához.

  i) Gúlák, kúpok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Mennyire ismered a gúlákat, kúpokat? Teszteld magad! Ki tudod számolni a gúlák, kúpok felszínét és térfogatát vagy a kúp nyílásszögét, és palástjának területét? Az értékelés után megtalálod a részletes megoldásokat.

  j) Gömb

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A gömb fogalma, tulajdonságai, felszíne, térfogata; A gömb síkmetszetei; Főkör; Feladatok: Mekkora térfogatú a 20 cm átmérőjű strandlabdában lévő levegő? Milyen hosszú a földgömb mintájú labdán a Ráktérítő?

• 04. Vegyes feladatok emelt szinten

  a) Térgeometria 1.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megbeszéljük, hogy melyek azok a térgeometriai ismeretek, amit az emelt szintű érettségihez tudnod kell és megoldunk néhány feladatot a korábbi évek feladsoraiból.

  b) Térgeometria 2.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megoldunk még néhány feladatot a térgeometria témaköréből, számolunk csonkagúlával, oktaéderrel és hengerrel kapcsolatban, megbeszéljük, mit kell tudni a szabályos testekről.

Sorozatok (részletesen)

• 05. Sorozatokról általánosan, számtani sorozatok

  a) Sorozatokról általánosan

  Tananyag   | Kezdés »

  A sorozatok megadása. A sorozatokat megadhatjuk rekurzív módon, vagy akár képlettel is, megismerkedünk néhány rekurzív sorozattal. Hogy ez mit is jelent tulajdonképpen, a videóból kiderül.

  b) Számtani sorozat I.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Mitől számtani egy sorozat? Az egymás után következő elemek különbsége mindig ugyanannyi. Meghatározzuk a számtani sorozat n-edik elemét és az első n elem összegét.

  c) Számtani sorozat II.

  Tananyag   | INGYENES használathoz regisztrálj ITT

  Feladat számtani sorozatra: Hány hely van a színházban az utolsó sorban? Hány hely van a nézőtéren összesen? A számtani sorozat összegképlete

  d) Számtani sorozat III.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Újabb feladatok a számtani sorozatokról tanultak gyakorlásához: Mennyi a pozitív háromjegyű páratlan számok összege? Mennyi a pozitív kétjegyű, 4-gyel osztható számok összege?

  e) Számtani sorozatok

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Feladatok, melyekkel gyakorolhatod a számtani sorozat n-edik tagjának, a sorozat differenciájának, és a sorozat tagjainak összeg meghatározását.

• 06. Mértani sorozatok

  a) Mértani sorozatok I.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Mitől lesz egy sorozat mértani sorozat? Példák mértani sorozatra; A mértani sorozat hányadosa (kvóciense), n-edik tagja; A mértani sorozat első n tagjának összege

  b) Mértani sorozatok II.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Feladatok mértani sorozat gyakorlásához: Egy mértani sorozat harmadik tagja 12, negyedik tagja pedig -10. Mennyi a sorozat hányadosa és az első tagja?

  c) Mértani sorozatok III.

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Mértani sorozatok gyakorlása. További két mértani sorozatos feladat vár rád: Milyen vastag lesz egy tízszer összehajtott papírlap? Hogy alakul a cég növekedése?

  d) Mértani sorozatok, kamatos kamat

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Feladatok mértani sorozat és kamatos kamat számítás gyakorlásához. Számold ki a mértani sorozat n-edik elemét, az első n tag összegét, vagy ha ezek meg vannak adva, akkor abból megkaphatod az első elemet és a hányadost. Ha bankba teszed a pénzedet mennyit kapsz vissza néhány év múlva?

• 07. Pénzügyi feladatok

  a) Pénzügyi feladatok 1. (Alapok)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megismerkedünk a pénzügyi feladatok alapfogalmaival, és röviden átismételjük, amire itt a százalékszámításból szükséged lesz.

  b) Pénzügyi feladatok 2. (kamatos kamat)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ha pénzedet beteszed a bankba, a hozzáadódó kamatot is bent hagyod és együtt kamatozik tovább, végül kamatos kamatot kapsz rá. Mennyi pénzt kapsz végül, mennyi időre és mennyi pénzt tegyél a bankba, hogy a célodat elért? Ezekre a válaszolunk.

  c) Pénzügyi feladatok 3. (Kamatos kamat, nehezebb feladatok)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Többféle befektetés közül kiválasztjuk a legkedvezőbbet, és megnézzük, hogy hogyan kell számolni értékcsökkenés esetén.

  d) Pénzügyi feladatok 4. (Gyűjtőjáradék)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A gyűjtőjáradék, amikor rendszeresen beteszünk egy összeget a bankba, az ott kamatozik és csak a végén vesszük fel a teljes összeget.

  e) Pénzügyi feladatok 5. (Gyűjtőjáradék gyakorlása)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  További feladatokat oldunk meg a gyűjtőjáradékkal kapcsolatban.

  f) Pénzügyi feladatok 6. (Hitel, törlesztőrészlet)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ha hitelt veszünk fel a banktól, vissza kell fizetnünk a hitel összegét és a kamatokat is. Amikor részletekben fizetjük vissza, a fennmaradó tartozásra számolják fel kamatot. Ezzel kapcsolatot feladatokat oldunk meg.

• 08. Vegyes feladatok emelt szinten

  a) Sorozatok

  Tananyag   | Kezdés »

  Ebben a videóban gyorsan áttekintjük mik a követelemények egy közép szintű érettségin a sorozatok témaköréből. Ezután megnézzük az emelt szint elvárásait, sok példával és kérdéssel. Megtanuljuk mi a végtelen mértani sor, a gyűjtőjáradék és a törlesztőrészlet.

  b) Sorozatokkal kapcsolatos érettségi feladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Májusi emeltszintű érettségikből válogattunk össze sorozatokkal kapcsolatos feladatokat, ezeket oldjuk meg közösen. Látjuk, hogy a sorozatok szerepelhetnek geometria, analízis és egyenletek témájú feladatokban is.

  c) Teszt: Sorozatok (emelt szint)

  Teszt   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  TESZT! Sorozatok teszt. Ebben az emelt szintű tesztben sorozatokkal kapcsolatos feladatokat találsz. A példák nagyon hasonlóak, mint amik az elmúlt években előfordultak érettségin. Számtani sorozat. A feladatok megoldása során szükségünk lesz mindenre, amit a számtani sorozatokról tanultunk (képzési szabály, differencia, általános tag, közepek, első n tag összege) Mértani sorozat. A feladatok megoldása során szükségünk lesz mindenre, amit a mértani sorozatokról tanultunk (képzési szabály, kvóciens (hányados), általános tag, közepek, első n tag összege) Sorozatok határértéke. A teszt megoldása során sorozatok határértékét is ki kell számítani. Típusfeladatokat válogattunk össze ebből a témakörből is. Szóba kerül a korlátosság és monotonitás is.

Analízis

• 09. Sorozatok határértéke

  a) Definíciók, alapok

  Tananyag   | Kezdés »

  Megvizsgáljuk a korlátos sorozatokat, az alsó-felső korlátot. Sorozatok monotonitásáról tanulunk: a szigorúan monoton csökkenő és növekvő sorozatokról. Megtanuljuk, mi a konvergencia, mitől konvergens a sorozat, és mit nevezünk a sorozat határértékének. Példákat, feladatokat oldunk meg sorozatokra.

  b) Tételek, végtelenhez tartó sorozatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  A határérték számításhoz kapcsolódó tételek bizonyítására kerül sor ezen a videón: sorozatok összegére, különbségére, szorzatára, hányadosára vonatkozó tételek. Gyakoroljuk a határérték számítást példákkal, feladatokkal. Megvizsgáljuk a végtelenbe tartó sorozatokat. Ezek a valódi divergens sorozatok.

  c) Fontosabb sorozatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Nevezetes sorozatok határértékéről lesz szó. Megvizsgáljuk és bizonyítjuk a nevezetes sorozatok tételeit. Beszélünk a Bernoulli egyenlőtlenség, és megtudhatod azt is, mi az a rendőr elv (közrefogási elv). Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

  d) Sorozatok határértéke - gyakorlás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ebben a videóban olyan feladatokat gyűjtöttünk össze, melyek megoldásával gyakorolhatod a sorozatok határértékének kiszámítását. Sok szép feladat vár. Határozd meg a sorozatok határértékét!

• 10. Függvények határértéke, folytonossága

  a) Definíciók, alapok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Függvények határértékéről, függvények folytonosságáról tanulunk. Mikor folytonos és mikor nem folytonos egy függvény? Függvények összegének, különbségének, szorzatának, hányadosának határértékét vizsgáljuk. Példákat, feladatokat oldunk meg függvény határérték-számításának gyakorlásához.

  b) Függvények határértéke

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Függvény jobb és bal oldali határértékéről tanulunk. Példákat oldunk meg jobb és bal oldali határértékre. Megnézzük, hogyan lehet a végtelen határérték. További függvények határértékét vizsgáljuk. Gyakorló feladatokat oldunk meg a függvények határérték számításával kapcsolatosan.

  c) Még egy fontos függvény-típus

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Függvények határértéke. Még egy újabb fontos függvény-típus határértékével foglalkozunk. Hogyan számoljuk ki a függvény hatérértékét, ha tört alakú, a nevezőben is és még a hatványkitevőben is szerepel az ismeretlen. Több feladatban gyakoroljuk.

  d) Gyakorló feladatok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Ez a videó 14 függvény határérték számítás feladatot és azok megoldását tartalmazza. Először oldd meg a feladatokat, és csak utána nézd meg a megoldásokat!

• 11. Függvények deriválása

  a) Fogalmak, néhány függvény deriváltja

  Tananyag   | Kezdés »

  A differenciálszámítással az analízis egyik fontos mérföldkövéhez érkeztünk. Megtanuljuk mi a differenciahányados és differenciálhányados fogalma, mi a deriváltfüggvény. Meghatározzuk néhány függvény deriváltját: pl. sin x, cos x, ln x ... Példákkal, feladatokkal gyakorlunk.

  b) Deriválási szabályok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Differenciálási szabályokról, vagy más néven deriválási szabályokról lesz szó. Vajon hogyan hat a derivált értékére, ha a függvényekkel műveleteket végzünk: összeg- és különbségfüggvény, szorzat- és hányadosfüggvény deriváltját vizsgáljuk. Példákat, feladatokat oldunk meg a függvények deriválásának gyakorlására.

  c) Összetett függvények deriválása

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Az összetett függvényekkel foglalkozunk. Összetett függvények deriválását tanuljuk meg. Példákat,feladatokat oldunk meg az összetett függvény deriválásához. Többszörösen összetett függvények deriválására is sor kerül.

  d) Gyakorló feladatok (deriválás)

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Összefoglaljuk a deriválásról tanultakat. Elemi függvények deriváltjait és a deriválási szabályokat ismételjük át. Feladatokat oldunk meg a deriválás gyakorlásához.

• 12. Függvényvizsgálat

  a) Függvényvizsgálat

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Megtanuljuk, hogyan tudjuk felhasználni a differenciálszámítást a függvényvizsgálatnál: Mit árul el a derivált? Monoton növekvő vagy éppen csökkenő-e a függvény? Mely pontokban van a függvénynek lokális szélsőértéke? Konvex vagy konkáv a függvény? Mit nevezünk inflexiós pontnak?

  b) Függvények, függvényjellemzés -bevezetés

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Meghatározzuk a függvény definícióját, az alaphalmazt és a képhalmazt.

  c) Függvények, függvényjellemzés - folytatás

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Meghatározzuk a zérushelyet, a szélsőértéket, a maximum- és minimum helyet (értéket). Megrajzoljuk a függvény grafikonját. A függvények tulajdonságaival foglalkozunk, ez a függvényjellemzés. Mi az értékkészlete, az értelmezési tartománya a függvénynek, csökkenő vagy növekvő a függvény?

• 13. Az integrálszámítás alapjai

  a) Integrálás, alapintegrálok

  Tananyag   | Kezdés »

  Az integrálást leegyszerűsítve a deriválás fordítottjának mondhatjuk. Beszélünk a határozatlan integrálról, más néven primitív függvényről. Sorra vesszük az integrálási szabályokat. Megvizsgáljuk az alapintegrálokat, majd néhány további függvény integrálját. Feladatok oldunk meg az integrálás gyakorlásához.

  b) Letölthető pdf file: Alapintegrálok

  Tananyag   | Megnyitáshoz fizess elő ITT

  Töltsd le, és nyomtasd ki az alapintegrálokat!