Kérdezz-felelek válaszok

KÉRDÉS

adja meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát amelyen a kifejezés értelmezhető ([]- ebbe a zárojelbe alsó indexet irtam)
a) cos(log[2] gyök x)
b) gyök log[2](cos x) (egész gyök alatt)
c) log[gyök x] (cos^2 x)

én csak egy darabig tudtam eljutni :s

VÁLASZ

A koszinusz-függvény szerencsére minden valós számon értelmezhető, gond csak a gyökkel és a logaritmussal van. gyök alatt csak nemnegatív szám állhat, míg a logaritmus után csak pozitív, és az alapja is csak pozitív lehet, sőt, 1-gyel sem lehet egyenlő. Ezért:

a)-ban gyök miatt x nagyobb-egyenlő 0-nál, de log miatt nem lehet 0 sem, tehát x nagyobb 0-nál.

b)-ben gyök miatt a logaritmusos kifejezésnek nagyobb-egyenlőnek kell lenni 0-nál, de ez csak úgy lehet, ha a log mögött álló kifejezés nagyobb-egyenlő 1-nél. Mivel azonban cos x mindig kisebb-egyenlő 1-nél, ezért csak cos x = 1 esetén értelmezhető a kifejezés, vagyis x=k-szor pi esetén.

c) mivel cos^2 x nemnegatív, ezért cos x = 0 kivételével értelmezhető a logaritmusa. Mivel gyök x nemnegatív, ezért csak a gyök x =0 vagy 1-et kell kizárni logaritmus alapjában. A gyök miatt pedig x-nek nemnegatívnak kell lenni. Tehát ez a kifejezés x>0; x nem-egyenlő 1; x nem-egyenlő pi/2 + k-szor pi esetén értelmezhető.