Kérdezz-felelek válaszok

KÉRDÉS

ABCD egyenlőszárú trapéz. AB II CD-vel, AB >CD, Kerülete 60 cm. Trapéz középvonalának hossza 18 cm, átlók felezőpontját összekötő szakasz 6 cm. Számítsd ki a trapéz alapjainak hosszát, számítsd ki a nem párhuzamos oldalak hosszát! Legyen M a nagyalap felezőpontja. Mutasd meg, hogy MD az AMC szög szögfelezője.

VÁLASZ

A trapéz középvonala a párhuzamos oldalak számtani közepe, vagyis , ebből 2k = a+c, tehát itt a 18 · 2 = 36 = a+c. Ismerjük a kerületet, K = a+c+b+b (mert egyenlő szárú a trapéz), így 60 = 36 + 2b, ebből b = 12 cm.

Az egyenlő szárú trapéz tengelyesen szimmetrikus, emiatt az x-szel jelölt szakaszok egyenlők, a középvonal 18 cm, a középső szakasz 6 cm, ezért .

Ha vesszük az ABC háromszög középvonalát, ami párhuzamos AB-vel, akkor annak a hossza 6+x=6+6=12. Mivel a háromszög alapja mindig kétszer olyan hosszú, mint a vele párhuzamos középvonal, ezért az alap hossza 24 cm.

Az AB oldal felezőpontja M, ezért AM = MB = 12 cm.

Az AMCD négyszögnek három oldala 12 cm-es és AM párhuzamos CD-vel, emiatt az AMCD négyszög rombusz, aminek az átlói felezik a szögeket, ezért MD az AMC szög szögfelezője.