Kérdezz-felelek válaszok

KÉRDÉS

Kedves Bea!
Hogyan lehet ezt megoldani?
Bizonyítjuk be, hogy a 10 osztója 1956^2010+1982^1982
Előre is köszönöm!
Zsu

VÁLASZ

Szia!

Ha a 2 és az 5 is osztója, akkor a 10 is.

2 osztója, mert mindkét tag páros, ez könnyű.

5-tel osztva 1956 1 maradékot ad, emiatt minden hatványa is, tehát az első tag 1 maradékot ad.

1982 viszont 2-t, ennek a négyzete emiatt 4-et, mert (5k + 2)(5l+2) = 25kl+10k +10l + 4 - ugye, látod? 4 = 5-1, vagyis nevezhetjük -1-nek is a "maradékot" Ha ezt hatványozzuk, akkor páros kitevőnél +1, páratlannál -1 lesz a maradék. És mivel 1982 = 2*991, és 991 páratlan, ezért -1 lesz az 1982^1982 maradéka 5-tel osztva.

Az első tag maradéka +1 volt, így a kettő összege épp 0, vagyis osztható 5-tel.

Bizonyítottuk tehát, hogy ez afura összeg 2-vel és 5-tel is osztható, ezért 10-zel is.

Érted, ugye?

BBBea