Kérdezz-felelek válaszok

KÉRDÉS

Egy szabályos négyoldalú (négyzet alapú) gúla minden éle 12 cm.
A gúlát két részre osztjuk egy az alaplappal párhuzamos síkkal, amely a gúla magasságát a csúcstól távolabbi harmadoló pontban metszi.
Mekkora a keletkező gúla és a csonkagúla térfogatának aránya?
Nem értem, hogy kell megállapítani a hasonlósági arányt.

VÁLASZ

Az alaplappal párhuzamos sík a gúlát egy csonkagúlára és egy az eredetivel hasonló gúlára vágja szét. Mivel az eredeti gúla magasságát a csúcstól távolabbi harmadolópontban metszi ez a sík, ezért a hasonlóság aránya: lambda = 2/3 (ez megegyezik a magasságok arányával)

Legyen az:
eredeti gúla térfogata: Ve
keletkezett gúla térfogata: Vk

Hasonló testek térfogatának aránya:
a keletkezett gúla térfogata/ eredeti gúla térfogata = lambda^3,
Vk/ Ve = (2/3)^3, azaz Vk/ Ve = 8/27

Így a csonkagúla és az eredeti gúla térfogatának aránya 19/27, vagyis a keletkező testek térfogatának aránya 8 : 19

Ez az arány meghatározható másképp úgy is, hogy kiszámoljuk az eredeti és a keletkezett gúla térfogatát, és a keletkezett gúla térfogatát osztjuk az eredeti gúla térfogatával. De ehhez sokat kell számolni :(