Kérdezz-felelek válaszok

KÉRDÉS

Kedves Tanárnő!
Van még egy kérdésem. Nekem nem nagyon megy a valószínűségszámítás sajnos. A következő feladat okoz gondot nekem. Segítene? Leírom röviden.
Van egy hosszútávfutó-verseny. 8 induló van, egy cilindert kapnak 10-10 fekete és fehér golyóval. Egy futó csak akkor indulhat el, ha az általa húzott golyó fehér, ez esetben már nem húz többet, különben helyben kell maradnia.
Ha elsőre feketét húzott, akkor a következő golyót 10 másodperc múlva húzhatja. Szükség esetén a további húzások is 10 másodpercenként vannak. A golyókat nem teszik vissza.
a) Mi a valószínűsége, hogy Gábor első két húzása fehér?
b) Mi a valószínűsége, hogy Vendel a startjelzés után 40 másodperccel tud csak elindulni?
c) Mi a valószínűsége annak, hogy egyik futó sem tud elsőre elindulni?
d) Mi a valószínűsége, hogy pontosan egy futó tud elsőre elindulni?
Válaszát előre is köszönöm
Gyetvai Erzsébet

VÁLASZ

a) Mi a valószínűsége, hogy Gábor első két húzása fehér?
Gábor első két húzása csak akkor lehet fehér, ha elsőre és másodikra is fehér golyót húz. Abban az esetben, ha elsőre fehéret húzott elindulhat, nem kell még egyszer húznia. Így P = 0 a valószínűsége, hogy Gábor első két húzása fehér

b) Mi a valószínűsége, hogy Vendel a startjelzés után 40 másodperccel tud csak elindulni?
Vendel a startjelzés után 40 másodperccel tud csak elindulni, az azt jelenti, hogy a startjelzés pillanatában fekete : ennek 10/20 a valószínűsége
startjelzés után: 10 másodperccel később fekete: ennek 9/19 a valószínűsége, eddig együtt 9×10/19×20; 20 másodperccel később ismét fekete: ennek 8/18;
30 másodperccel később fekete : 7/17
40 másodperccel később fehér golyót húz: 10/16 valószínűséggel
Azaz az egész folyamat valószínűsége: 10×9×8×7×10/(20×19×18×17×16)

c) Mi a valószínűsége annak, hogy egyik futó sem tud elsőre elindulni?
Összesen 8 futó van. Ha egyik versenyző sem tud elsőre elindulni, akkor mind a nyolcan fekete golyót húztak:
Annak a valószínűsége, hogy elsőre egy versenyző fekete golyót húzott 10/20 = 1/2, így annak a valószínűsége, hogy mind a 8-an elsőre fekete golyót húztak: P = (1/2)^8 = 0,004

d) Mi a valószínűsége, hogy pontosan egy futó tud elsőre elindulni?
Ha pontosan egy futó tud elindulni elsőre, akkor a 8-ból csak egy versenyző húzott elsőre fehér golyót, a többiek (7-en) feketét. Mivel a fekete ill. a fehér golyók húzásának valószínűsége egyaránt 1/2, ezért annak a valószínűsége, hogy egy konkrét ember el tud indulni, a többi nem: (1/2)^8 = 0,004, és mivel bármelyikük lehet az induló, ezt 8-szor kell venni: P=8×0,004 = 0,032