Pitagorasz-tétel

TESZT! Ebben a tesztben a Pitagorasz-tétel alkalmazását gyakorolhatod különböző háromszöges és négyszöges geometriai feladatokban. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

Ebben a videóban három összetett érettségi példa megoldását nézzük át. Az első egy statisztikai feladat volt, értelmezni kellett az adatokat, oszlopdiagramot kellett készíteni, és egy kis százalékszámítás is került a kérdések közé. A második példa elég rendhagyó volt: egy egyszerű valószínűségszámítás kérdés után elég bonyolult szöveges feladat következett, arányos osztással megspékelve. A 3. példa derékszögű háromszögről szólt, de egy egyenletrendszer felírását is igényelte. A Pitagorasz-tételt és a Thalesz-tételt is ismerni kellett a megoldáshoz.

Ezen a videón ismét három összetett matekérettségi feladat részletes megoldását nézzük végig.Az első példa koordinátageometriával vegyített geometria feladat volt, amelyben kör és egyenes közös pontjainak meghatározásán túl szükség volt még a Pitagorasz-tételre és egy körív hosszát is ki kellett számolni. A 17. feladat is geometriai példa volt, ebben a sík- és térgeometriát vegyítették. És volt még egy fizika feladatnak álcázott exponenciális egyenletre vezető feladat is, ami sokakat elriasztott, pedig a három példa közül matematikailag tán ez volt a legkönnyebb. Tarts velünk, gondolkozzunk együtt ezeken a feladatokon!

TESZT! Különböző háromszöges és négyszöges geometriai feladatokban gyakorolhatod a Pitagorasz-tétel alkalmazását. Oldd meg a feladatokat önállóan! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

TESZT! Gyakoroljuk a Pitagorasz-tétel felírását és a hiányzó oldalak kiszámítását derékszögű háromszögekben! Kiértékelés után levezetjük a megoldást lépésről lépésre.

JÁTÉK! A befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével. Utazd körbe a világot ezzel a társasjátékkal! Keresd a derékszögű háromszögeket és alkalmazd a Pitagorasz-tételt!

4. tétel: A matematikai logika elemei. Logikai műveletek. Állítás és megfordítása, szükséges és elégséges feltételek, bemutatásuk tételek megfogalmazásában és bizonyításában. Elmondjuk neked a teljes kidolgozott tételt, és látod, mit kell a táblára írnod, majd segítünk ezt megtanulni is Alapfogalmak: Az állítás definíciója: olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen el lehet dönteni, hogy igaz vagy hamis. Az állításoknak logikai értéke van: egy állítás lehet igaz, vagy hamis. Milyen logikai műveleteket kell tudnod? . A tagadás egyváltozós művelet. Egy állítás tagadása az a kijelentés, amely akkor igaz, ha az állítás hamis, és akkor hamis, ha az állítás igaz. Az ÉS-sel összekapcsolt összetett állítás (konjunkció) logikai értéke csak akkor lesz igaz, ha mindkét állítás igaz volt. Különben hamis a logikai érték. Diszjunkció („ megengedő VAGY”): Amennyiben legalább az egyik állítás igaz a két állítás közül, a VAGY-gyal összekötött állítás is igaz lesz. Az implikáció csak abban az esetben ad hamis logikai értéket, ha az előtag igaz, az utótag pedig hamis. Ekvivalencia: akkor igaz két állítás ekvivalenciájának logikai értéke, ha az állítások logikai értéke azonos. A logikai műveletek tulajdonságai. A logikai műveletek kommutatívak ; asszociatívak és mindkét művelet disztributív a másikra nézve. Két vagy több állításból logikai művelettel és zárójelek alkalmazásával többszörösen összetett kifejezéseket kapunk. A logikai értéktáblázat készítése egyben bizonyítási módszer is. Két logikai állítás akkor egyenlő, ha a bennük szereplő állítások minden logikai értékére ugyanolyan igazságértéket adnak. De-Morgen azonosságok. 1. Tétel: "A és B" állítás negáltja egyenlő negált A vagy negált B-vel. 2. Tétel: "A vagy B" állítás negáltja egyenlő negált A és negált B-vel. A matematikai tételek többsége implikáció vagy ekvivalencia. Az előtagot igaznak tekintve a "ha A, akkor B" igaz, akkor azt mondjuk, hogy B állítás következik A-ból. Ilyenkor az A elégséges feltétele B-nek, a B pedig szükséges feltétele A-nak. Ha B következménye A-nak, de A nem következménye B-nek, akkor B szükséges, de nem elégséges feltétele A-nak. Ha A ekvivalens B-vel, akkor B szükséges és elégséges feltétele is egyben A-nak. Állítás és megfordítása:. Ha egy matematikai tételt leírhatunk formálisan a „ha A, akkor B” szerkezettel, akkor a tétel megfordítása a „ha B, akkor A” szerkezetű állítás lesz. Pitagorasz -tétel és megfordítása egy ekvivalencia: Akkor és csakis akkor derékszögű egy háromszög, ha két kisebb oldalának négyzetösszege megegyezik a legnagyobb oldal négyzetével. Húrnégyszögek tétele és megfordítása is ekvivalencia, hiszen egy négyszög akkor és csakis akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°. Vannak nem megfordítható állítások. Pl.: Ha egy szám osztható 36-tal, akkor abból következik, hogy a szám osztható 9-cel. Visszafelé ez nem igaz; a 9-cel való oszthatóság szükséges feltétele a 36-tal való oszthatóságnak, de nem elégséges feltétele. Annak belátására, hogy egy állítás nem igaz, elegendő egyetlen ellenpélda is. A logikai állítások algebrai formába öntése Bool angol matematikushoz fűződik. (Bool-algebra)

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában. Az utolsó tételt akár viszonylag könnyen meg is úszhatod, és válogathatsz az előző szóbeli tételekből hozzá példákat (ezzel időt spórolhatsz meg.) Mi most megmutatunk Neked másik bizonyításokat is, hogy több bizonyítás lehessen a tarsolyodban, ha szükséged lenne rá. Négyféle bizonyítási módszert használunk középiskolában: a direkt bizonyítást, az indirekt bizonyítást, a teljes indukciót és a skatulya-elvet. Ezeket a módszereket be is mutatjuk tételek bizonyításában. 1. A matematikában leggyakrabban a direkt bizonyítást használjuk. Direkt bizonyításnak nevezzük azt az eljárást, amikor igaz feltételekből például axiómákból vagy korábban bizonyított tételekből, helyes logikai lépések során a bizonyítandó állításhoz jutunk. Thálesz-tételét fogjuk így bizonyítani a videón. A tétel így szól: Ha egy kör egyik átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal átmérővégpontoktól különböző bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. A bizonyításhoz a körben kialakuló egyenlőszárú háromszögeket kell felhasználni. Néhány szögekre vonatkozó összefüggést felírva megkapjuk a bizonyítandó állítást. 2. Hogyan működik az indirekt bizonyítás? Az indirekt módszer két logikai törvényen alapul: minden kijelentés igaz vagy hamis és egy igaz állítás tagadása hamis, és fordítva, hamis kijelentés tagadása igaz. Indirekt bizonyítási módot akkor érdemes választani, ha az állítás tagadása könnyebben kezelhető, mint maga az állítás. A precíz definíció így szól: Indirekt bizonyításnak nevezzük azt az eljárást, amikor feltételezzük a bizonyítandó állítás tagadását, majd helyes logikai lépések során ellentmondásra jutunk. Egy klasszikus, ide tartozó bizonyítás, hogy a gyök kettő irracionális szám (ezt bizonyítjuk a 2. tétel kifejtésekor) Most azonban a Pitagorasz-tétel megfordítását fogjuk bebizonyítani indirekt módon. A Pitagorasz-tétel megfordítása: ha egy háromszögben két oldalhossz négyzetének összege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. A Pitagorasz tételből tudjuk, hogy a2+b2=c2. Indirekten tegyük fel, hogy ez a háromszög nem derékszögű. Rajzolunk egy általános háromszöget, aminek az oldalai a, b és c. Ezután rajzolunk egy derékszögű háromszöget a, b befogókkal, ez lesz az AB’C háromszög. … A folytatásban belátjuk, hogy a két háromszögnek egybevágónak kell lenni. Evvel viszont ellentmondásra jutunk, hiszen az indirekt feltevésben azt mondtuk, hogy a háromszög nem derékszögű. Ezzel bebizonyítottuk a Pitagorasz-tétel megfordítását. 3. Hogyan kell teljes indukciós bizonyítást levezetni? A teljes indukció olyan állítások bizonyítására alkalmas, melyek n pozitív egész számtól függenek. A teljes indukciós eljárás során először bebizonyítjuk az állítást n = 1-re (vagy valamilyen konkrét értékre). Ezután feltételezzük, hogy az állítás igaz n = k-ra, ez az úgynevezett indukciós feltevés. 3. lépésben az indukciós feltevés felhasználásával bebizonyítjuk, hogy az állítás igaz n = (k + 1)-re. Ezzel az állítást minden n pozitív egész számra bizonyítottnak tekintjük Azt a tételt fogom bizonyítani, hogy Ha egy számtani sorozat első tagja a1, különbsége d, akkor a számtani sorozat első n tagjának összege így számolható, ahogy ide felírtam. A 3 lépés: 1.) megvizsgálom, hogy n=1-re teljesül-e az állítás. Ez könnyen belátható, behelyettesítés és egyszerűsítés után megkapom, hogy az első egy tag összege a1. Ez nyilvánvalóan igaz. 2.) Felírjuk az indukciós feltételt, azaz, hogy n=k-ra teljesül az állítás. Az összefüggésbe n helyére k-t írunk. 3. lépés: Be kell látni, hogy n=k+1-re is teljesül az állítás. Ehhez behelyettesítettjük az eredeti képletbe n helyére k+1-et. És az előző (k-ra vonatkozó) összefüggést felhasználva algebrai átalakításokkal ügyesen kihozzuk a k+1-re vonatkozó összefüggést. A teljes indukció első írásos emléke 1575-ből származik: Ekkor bizonyította be a Maurolico olasz matematikus az első n páratlan szám összegére vonatkozó tételt ilyen módon. 4. A skatulya-elv mit jelent? Tétel: Ha n darab tárgyat k darab skatulyában helyezünk el, és n > kp, akkor biztosan lesz legalább egy olyan skatulya, amelyikbe legalább p + 1 tárgy kerül. Azt a tételt bizonyítjuk be skatulyaelvvel, hogy ha p és q pozitív egész számok, akkor a p/q szám tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtelen, de szakaszos tizedes tört. Ha p-t elosztjuk q-val, akkor q féle osztási maradékot kaphatunk. 0-t, 1-t, 2-t és így tovább, egészen q-1-ig. Ezek lesznek a skatulyák, és könnyen belátható, hogy emiatt legfeljebb a q-adik osztásnál már olyan maradékot kapunk, amely korábban már volt, azaz innen ismétlődni fognak a tizedes tört jegyei... A skatulyaelvet Dirichlet (1805–1859) francia matematikus bizonyította be. Gyakorlati alkalmazásként az összes, középiskolában tanult tételt fel lehet hozni, mindegyiket valamelyik fenti módszer segítségével bizonyítottuk. A tétel végén matematikatörténeti vonatkozásokat mutatunk be.

Felelevenítjük az általános iskolában tanultakat: háromszögek nevezetes vonalai, nevezetes pontjai.

Majd további ismereteket szerezhetsz a háromszögekről: a háromszög körülírt és beírt köre, a háromszög belső,-külső szögei, háromszög-egyenlőtlenség. Megvizsgáljuk a derékszögű háromszögeket. Újra hallhatsz a Pitagorasz-tételről, a Thalesz-tételről és a Thalesz-körről. Más nevezetes háromszögekről is tanulunk.

Háromszögek nevezetes vonalait, nevezetes pontjait nézzük át. A háromszögek belső szögeit, külső szögeit, a háromszög oldalait vizsgáljuk.

Derékszögű háromszögekről, egyenlő szárú háromszögről és további speciális háromszögekről lesz szó: egyenlő oldalú háromszög, egyenlő szárú derékszögű háromszög.

Átbeszéljük részletesen a Pitagorasz-tételt. Példákkal gyakorlunk.