Kérdezz-felelek válaszok

KÉRDÉS

Összeadtunk 55 egymást követő pozitív páratlan számot, az összeg értéke 3905.
a) Melyik volt az összegben az első, illetve az ötvenötödik páratlan szám?
b) Melyik az összeadottak között a legkisebb olyan szám, amelynek a prímtényezős felbontásában két különböző prímszám szerepel, és a négyzete ötre végződik?

VÁLASZ

Ez egy olyan számtani sorozat, melynek a pozitív páratlan számok a tagjai, így a differencia d = 2.
a1; a2; a3; ... ; a55, ; S55 = 3905

a) A sorozat n-edik tagját az an = a1 + (n-1) d képlettel, az összeget pedig az Sn = (2a1 + (n-1)d )/2 × n képlettel számolható. (Ezek megtalálhatók a függvénytáblában.)

Az összegképletbe behelyettesítve az adatokat a sorozat első tagja meghatározható:

S55 = (2a1 + 54×2)/2 × 55 (egyszerűsítés és beszorzás után)
3905 = 55a1 + 2970
17 = a1

a55 = a1 + (n-1) × d
a55 = 17 + 54 × 2
a55 = 125

b.) Ha egy szám négyzete 5-re végződhet, akkor önmaga a szám is osztható 5-tel. Tehát az egyik prímtényező az 5.
Így a sorozatnak azt a legkisebb tagját keressük, melynek prímtényezős felbontásában az egyik prím az 5, a másik pedig egy 5-től különböző prímszám, és a kettő valamilyen hatványon vett szorzata legalább 17.

A 17-nél nagyobb (v. egyenlő) számok között az első 5-tel osztható a 20, abban is csak 2 prím szerepel, de az páros szám. A következő a 25, abban viszont csak 1 prímtényező szerepel. A következő páratlan, 5-tel osztható szám a 35, és az már minden feltételnek eleget tesz: a prímfelbontásában két különböző prímszám szerepel, és a négyzete 5-re végződik.